Thạc Sĩ Lý thuyết dung lượng trong không gian Tôpô

Đề tài: Lý thuyết dung lượng trong không gian Tôpô
LỜI CÁM ƠN
Lời cám ơn sâu sắc nhất, tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy của tôi –
PGS - TS. ðậu Thế Cấp, người ñã giảng dạy cho tôi trong khóa học, cũng
như ñã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn Thạc sĩ
này.
Tôi xin gửi lời cám ơn ñến quý Thầy Cô trong Hội ñồng chấm luận văn
ñã dành thời gian ñọc và cho tôi những nhận xét về luận văn.
Tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, quý Thầy Cô của Khoa
Toán - Tin học, quý Thầy Cô thuộc Phòng Quản Lý Khoa Học Sau ðại Học
Trường ðại Học Sư Phạm TP. HCM ñã trang bị cho tôi kiến thức cũng như
ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn ñến quý Thầy Cô – những ñồng nghiệp của
tôi Trường THPT Mạc ðĩnh Chi ñã nhiệt tình giúp ñỡ tôi trong công việc ñể
tôi ñược thuận lợi hơn trong quá trình học tập.
Tôi cũng xin cám ơn các bạn học viên cùng lớp Cao học Giải Tích khóa
16 ñã chia sẻ, giúp ñỡ nhau trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng là lời cám ơn tôi dành cho những người thân trong gia ñình
tôi, những người luôn ñộng viên tôi trong suốt thời gian qua.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 1 tháng 10 năm 2008
Phan Phụng Hiệp 2
MỤC LỤC
Lời cám ơn .1
Mục lục 2
MỞ ðẦU .3
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .5
1.1. ðộ ño .5
1.2. Hàm ño ñược . 18
1.3. Bổ ñề Urysohn 19
Chương 2: DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ .21
2.1. Các ñịnh nghĩa và tính chất .21
2.2. Mối liên hệ giữa dung lượng và ñộ ño 28
2.3. Một số dung lượng ñặc biệt .29
Chương 3: TÍCH PHÂN CHOQUET THEO DUNG LƯỢNG .35
3.1. ðịnh nghĩa .35
3.2. Tính chất .36
KẾT LUẬN .45
TÀI LIỆU THAM KHẢO .46 3
MỞ ðẦU
1. Lý do chọn ñề tài
Lý thuyết dung lượng ñược ñưa ra bởi G. Choquet và ñược tiếp tục phát
triển bởi nhiều tác giả trong thời gian qua. Dung lượng ñã ñược xét trong
không gian ño ñược bất kỳ như là một khái quát của ñộ ño và gần ñây là trong
không gian mêtric
n
R với σ - ñại số Borel của hai tác giả Nguyễn Nhụy và Lê
Xuân Sơn. Vì vậy, tiếp tục mở rộng các kết quả trên một không gian tôpô
tổng quát ñó là lí do mà chúng tôi chọn ñề tài này.
2. Mục ñích nghiên cứu
Trong luận văn này, chúng tôi ñưa ra khái niệm dung lượng và khái
niệm tích phân Choquet theo dung lượng trong không gian tôpô Hausdorff
tổng quát với σ - ñại số Borel.
3. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu dung lượng trong không gian
tôpô Hausdorff với σ - ñại số Borel, khảo sát một số trường hợp dung lượng
có giá là tập hữu hạn, và một số tính chất của tích phân Choquet theo các
dung lượng có giá là tập hữu hạn.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Các kết quả có ñược của luận văn là một trường hợp cho lý thuyết dung
lượng trong không gian tôpô Hausdorff với σ - ñại số Borel.
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn ñược trình bày 3 chương: 4
- Chương 1: Trình bày một số vấn ñề về lí thuyết ñộ ño có liên quan và bổ ñề
Urysohn.
- Chương 2: Trình bày ñịnh nghĩa của dung lượng trên không gian tôpô
Hausdorff cùng một số tính chất của nó, mối liên hệ giữa dung lượng với ñộ
ño và một số dung lượng ñặc biệt.
- Chương 3: Trình bày ñịnh nghĩa tích phân Choquet theo dung lượng và
chứng minh một số kết quả trong trường hợp dung lượng có giá là tập hữu
hạn. 5
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. ðộ ño
Kí hiệu P ( ) X là họ tất cả các tập con của tập X.
ðịnh nghĩa 1.1.1
Một họ M ⊂ P ( ) X ñược gọi là một σ - ñại số trên X nếu thỏa mãn các
ñiều kiện
i. ∅ ∈M.
ii. { }
1
j
j
E
+∞
=
⊂ M thì
1
j
j
E
+∞
=
U ∈M.
iii. E ∈M thì \
c
E X E = ∈M.
Nếu ñiều kiện ii. ñược thay bởi ñiều kiện
ii’. { }
1
n
j
j
E
=
⊂ M thì
1
n
j
j
E
=
U ∈M
thì M gọi là một ñại số.
Cặp ( , ) X M gồm tập X và một σ - ñại số M trên X gọi là một không
gian ño ñược.
Ta biết giao của một họ khác rỗng các σ - ñại số các tập con của X là
một σ - ñại số. Nếu EEE là một họ các tập con của X thì P ( ) X là một σ - ñại số
chứa EEE . Do ñó ta có σ - ñại số M( ) EEE là giao của tất cả các σ - ñại số chứa EEE
và σ - ñại số M( ) EEE ñược gọi là σ - ñại số sinh bởi EEE .
Với các họ tập con , của X ta có
⊂ ⇒ ⊂ M M M ( ) ( ) ( ). 6
ðịnh nghĩa 1.1.2
Cho X là một không gian tôpô. Ta gọi σ - ñại số Borel trên X là σ - ñại
số sinh bởi họ các tập con mở của X, kí hiệu là B( ) X . Mỗi phần tử thuộc
B( ) X gọi là một tập Borel.
Như vậy tập Borel bao gồm các tập mở, các tập ñóng, giao của ñếm
ñược các tập mở, hợp của ñếm ñược các tập ñóng của X. ðặc biệt nếu X là
không gian Hausdorff thì mọi tập con compăc là tập Borel. Ta gọi một tập
bằng giao của ñếm ñược các tập mở là tập Gδ
, một tập bằng hợp của ñếm
ñược các tập ñóng là tập Fσ
.
ðịnh lí 1.1.1
B( ) R ñược sinh bởi một trong các họ tập con sau ñây của R
a. Họ các khoảng mở EEE
1 = < {( ; ) / a b a b} .
b. Họ các khoảng ñóng EEE
2 = < {[ ; ]/ a b a b} .
c. Họ các khoảng nửa mở EEE
3 = < {( ; ]/ a b a b}
hoặc EEE
4 = < {[ ; )/ a b a b}.
d. Họ các nửa ñường thẳng mở EEE
5 = +∞ ∈ {( ; ) / a a R}
hoặc EEE
6 = ư∞ ∈ {( ; ) / a a R}.
e. Họ các nửa ñường thẳng ñóng EEE
7 = +∞ ∈ {[ ; ) / a a R}
hoặc EEE
8 = ư∞ ∈ {( ; ]/ a a R}.
ðịnh nghĩa 1.1.3
Cho { }
I
Xα α∈
là một họ các tập khác rỗng,
I
X Xα
α∈
=∏ và : π α α X X →
là ánh xạ tọa ñộ thứ α . Với mỗi α , cho Mα
là σ - ñại số trên Xα
. 7
Ta gọi σ - ñại số tích của các σ - ñại số trên Xα
là σ - ñại số trên X sinh bởi
họ tập { }
1
( )/ , E E I π α α α α α
ư
∈ ∈ M .
Ta kí hiệu σ - ñại số này là
I
α
α∈
⊗ M , nếu I n = {1, ., } thì ta kí hiệu
1
n
⊗Mj
hoặc
1
. M M ⊗ ⊗ n
.
ðịnh lí 1.1.2
Nếu I là tập ñếm ñược thì
I
α
α∈
⊗ M là σ - ñại số sinh bởi họ tập
/
I
E E α α α
α∈
 
  ∈
 
∏ M .
ðịnh lí 1.1.3
Cho Mα
sinh bởi , I EEE
α α ∈ .
Khi ñó
I
α
α∈
⊗ M ñược sinh bởi { }
1
1
( ) / , E E I π α α α α α
ư
F = ∈ ∈ EEE .
Nếu I ñếm ñược và , X I
α α ∈ ∀ ∈ EEE α thì
I
α
α∈
⊗ M ñược sinh bởi
2
/
I
E E α α α
α∈
 
= ∈  
 
F ∏ EEE .
ðịnh lí 1.1.4
Cho
1
, ., X Xn
là các không gian mêtric và
1
n
X X =∏ j
là không gian
mêtric tích. Khi ñó
1
( )
n
⊗ ⊂ B( ) B X X j
. Nếu tất cả các không gian X j
khả li thì
1
( ) ( )
n
⊗ = B B X X j
. 8
Ta gọi một gian trong
n
R là một tập dạng
1
. G G × × n
, trong ñó Gi
là
khoảng mở, khoảng ñóng, hoặc khoảng nửa mở trong R.
ðịnh lí 1.1.5
1
( ) ( )
n
n
B B R R = ⊗ và ( )
n
B R là σ - ñại số ñược sinh bởi các gian trong
n
R .
ðịnh nghĩa 1.1.4
Họ EEE các tập con của X gọi là một họ sơ cấp nếu
i. ∅ ∈EEE .
ii. E F E F , ∈ ⇒ ∩ ∈ .
iii. E ∈EEE thì
c
E bằng hợp của hữu hạn các tập rời nhau của EEE .
ðịnh lí 1.1.6
Nếu EEE là một họ sơ cấp thì họ các hợp hữu hạn của các tập rời
nhau của EEE là một ñại số.
ðịnh nghĩa 1.1.5
Cho M là một σ - ñại số trên X. Một hàm tập µ : [0; ] M → +∞ gọi là
một ñộ ño trên M nếu thỏa mãn các ñiều kiện
i. µ( ) 0 ∅ = .
ii. { }
1
j
j
E
+∞
=
là dãy các tập rời nhau thuộc M thì
1 1
( )
j j
j j
µ µ E E
+∞ +∞
= =
 
  =
 
U ∑ .
ðộ ño µ trên M gọi là hữu hạn nếu ( ) , µ E E < +∞ ∀ ∈M.