Thạc Sĩ Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng

Mục lục
Trang
Mục lục . 1
Lời nói đầu 2
Chương 1 - Kiến thức cơ bản cần dùng 6
1.1 Không gian metric . 6
1.2 Không gian định chuẩn 10
1.3 Không gian Banach có cấu trúc đặc biệt 11
1.4 Không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương 14
Kết luận chương 1 16
Chương 2 - Điểm bất động của ánh xạ đơn trị 17
2.1 Điểm bất động của ánh xạ dạng co 17
2.2 Điểm bất động của ánh xạ liên tục . 23
2.3 Điểm bất động của ánh xạ không giãn . 36
Kết luận chương 2 40
Chương 3 - Điểm bất động của ánh xạ đa trị 41
3.1 Định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị co 41
3.2 Định lý điểm bất động Ky Fan . 51
Kết luận chương 3 . 61
Chương 4 - Một số ứng dụng 62
4.1 Ứng dụng của định lý điểm bất động Caristi 63
4.2 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I 64
Kết luận chương 4 76
Kết luận chung . 77
Tài liệu tham khảo 78
1Lời nói đầu
Đến nay, lý thuyết điểm bất động đã ra đời khoảng một thế kỷ và phát
triển mạnh mẽ trong năm thập kỷ gần đây. Sự ra đời của Nguyên lý điểm
bất động Brouwer (1912) và ánh xạ co Banach (1922) đã hình thành 2
hướng chính của lý thuyết điểm bất động: sự tồn tại điểm bất động của
ánh xạ liên tục và sự tồn tại điểm bất động dạng co. Lý thuyết điểm bất
động có nhiều ứng dụng như: chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương
trình vi phân và phương trình tích phân (định lý Picard và định lý Peano),
chứng minh nguyên lý -biến phân Ekeland, chứng minh sự tồn tại điểm
cân bằng trong mô hình kinh tế, sự tồn tại nghiệm tối ưu của nhiều bài
toán trong lý thuyết tối ưu .
Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) là kết quả khởi đầu cho lý thuyết
điểm bất động dạng co, nhưng phải đến những năm 60 của thế kỷ 20
mới được phát triển mạnh mẽ. Nó cho phép ta xây dựng thuật toán tìm
nghiệm của bài toán. Các nhà toán học đã mở rộng Nguyên lý ánh xạ co
Banach theo hai hướng: đưa ra các khái niệm mới, ánh xạ đa trị và mở
rộng ánh xạ co đến ánh xạ không giãn. Các kết quả tiêu biểu có thể kể đến
như: M.Edelstein, D.Boyd, A.Meir, E.Keeler cho ánh xạ đơn trị; Caristi,
S.Nadler, Ky Fan .cho ánh xạ đa trị.
Một quan hệ giữa ánh xạ co và ánh xạ không giãn là: ánh xạ không giãn
có thể được xấp xỉ bằng một dãy ánh xạ co trên tập C lồi, đóng, bị chặn
trong không gian Banach, xác định bởi công thức Tnx =
1
n
x0 + (1 ư
1
n
)T x,
trong đó x0 là điểm cố định trong C. Vì vậy, sự tồn tại điểm bất động của
ánh xạ co kéo theo sự tồn tại điểm bất động -xấp xỉ của ánh xạ không
giãn (x là điểm bất động -xấp xỉ của ánh xạ T nếu d(x, T x) ≤ ) trên
2tập lồi, đóng, bị chặn trong không gian Banach. Tuy nhiên, sự tồn tại điểm
bất động của ánh xạ không giãn thường gắn liền với cấu trúc hình học của
không gian Banach. Lý thuyết điểm bất động của ánh xạ không giãn được
mở đầu bằng 3 công trình của F.E.Browder, K.Goebel và W.A.Kirk vào
năm 1965. Kết quả quan trọng của W.A.Kirk được trình bày trong chương
2 của luận văn này.
Mở rộng tự nhiên cho lý thuyết điểm bất động của ánh xạ không giãn là
nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Lipschitz với hệ số lớn hơn
1. Tuy nhiên, Kakutani đã chỉ ra ánh xạ Lipschitz với hệ số đủ gần 1 trong
hình cầu đóng đơn vị của không gian Hilbert không có điểm bất động.
Nguyên lý điểm bất động Brouwer được mở rộng theo 2 giai đoạn. Ban
đầu, người ta mở rộng kết quả này trên lớp các không gian tổng quát như:
định lý Schauder (1930) trong không gian định chuẩn, định lý Tikhonov
(1935) trong không gian lồi địa phương, Sau đó mở rộng đến ánh xạ đa
trị nửa liên tục trên, mở đầu là kết quả của Kakutani (1941), tiêu biểu là
Ky Fan (1952).
Một điều thú vị là vào năm 1929 ba nhà toán học Knaster, Kuratowski
và Mazurkiewicz dựa trên kết quả tổ hợp Sperner đã đưa ra bổ đề KKM.
Bổ đề này chỉ ra một cách chứng minh đơn giản Nguyên lý điểm bất động
Brouwer mà trước đó cách chứng minh khá phức tạp dựa vào công cụ tô
pô và lý thuyết bậc ánh xạ. Hơn nữa bổ đề KKM tương đương với Nguyên
lý Brouwer.
Sự xuất hiện bổ đề KKM mở ra một hướng nghiên cứu mới là Lý thuyết
KKM. Ky Fan (1961) đã tạo ra bước ngoặt trong sự phát triển lý thuyết
KKM khi ông chứng minh dạng tương tự của bổ đề KKM cho không gian
vô hạn chiều và gọi là Nguyên lý ánh xạ KKM. Đây được xem như là trung
3tâm của lý thuyết KKM.
Sau đó, Shih đã chứng minh bổ đề KKM cho các tập mở. Bổ đề này cho
ta cách chứng minh đơn giản định lý điểm bất động Ky Fan (đối với ánh
xạ nửa liên tục trên). Các công trình nghiên cứu sâu sắc của Ky Fan như:
Nguyên lý ánh xạ KKM, Bất đẳng thức Ky Fan . tác động lớn đến sự phát
triển của lý thuyết KKM. Nó được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết điểm
bất động, lý thuyết biến phân, bài toán kinh tế Cho đến nay lý thuyết
KKM vẫn đang được phát triển rộng rãi gắn liền với tên tuổi của các nhà
toán học như: W.A.Kirk, M.A.Khamsi, .
Với sự phát triển không ngừng của lý thuyết điểm bất động, gần đây đã
xuất hiện tạp chí dành riêng cho nghiên cứu này chẳng hạn như tạp chí
"Fixed point theory and Application", bắt đầu từ năm 2007 của nhà xuất
bản Springer.
Tầm quan trọng của lý thuyết điểm bất động cũng như Lý thuyết KKM
trong các ngành toán học và ứng dụng của nó chính là lý do tôi chọn đề tài
nghiên cứu "Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng". Trong luận văn
này tôi đề cập đến sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co, ánh xạ không
giãn, ánh xạ liên tục và ứng dụng của nguyên lý ánh xạ KKM. Luận văn
cũng trình bày 2 ứng dụng của lý thuyết điểm bất động để chứng minh
Nguyên lý  -biến phân Ekeland và sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân
bằng tổng quát loại I.
Cấu trúc luận văn gồm: phần mở đầu, 4 chương chính (chương 1-4), kết
luận và tài liệu tham khảo. Nội dung chính được tóm tắt như sau:
Chương 1 dành cho việc trình bày các kiến thức cơ bản cần dùng như:
không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach có cấu trúc
đặc biệt và không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff.
4Chương 2 trình bày một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ đơn
trị. Cụ thể là: ánh xạ co, ánh xạ không giãn và ánh xạ liên tục.
Chương 3 nghiên cứu về ánh xạ đa trị, trình bày một số khái niệm liên
quan về ánh xạ đa trị và các định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị như:
Định lý điểm bất động Caristi, Định lý điểm bất động Nadler, Định lý điểm
bất động Ky Fan .
Chương 4 đưa ra hai trong nhiều ứng dụng của lý thuyết điểm bất động
là: chứng minh Nguyên lý  -biến phân Ekeland và sự tồn tại nghiệm của
bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình, chu đáo
của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc
đến thầy về sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy trong suốt quá trình tôi thực
hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Cẩm Thủy 3,
cùng toàn thể các bạn đồng nghiệp trong trường đã tạo điều kiện thuận lợi
cho tôi trong suốt quá trình học tập.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Viện toán học, Phòng giải
tích toán học, các thầy cô trong Viện toán đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi thực hiện tốt kế hoạch học tập của mình.
Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ sự biết ơn tới gia đình tôi đã luôn ở bên
cạnh ủng hộ động viên và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi được học tập và
hoàn thành luận văn này.
Do điều kiện thời gian và khả năng bản thân có hạn nên luận văn không
thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng
góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để luận văn đượ