Thạc Sĩ Luật số lớn cho mảng phù hợp với các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach

Đề tài: Luật số lớn cho mảng phù hợp với các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach

LỜI NÓI ĐẦU
Luật số lớn đóng một vai trò vô cùng quan trọng trong Lý thuyết Xác suất.
Luật số lớn đầu tiên của J. Bernoulli được công bố vào năm 1713. Về sau kết
quả này được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov, . mở rộng. Trong những
năm qua có một hướng nghiên cứu Luật số lớn là mở rộng các kết quả về Luật
số lớn trong trường hợp dãy (một chỉ số) ra cho trường hợp nhiều chỉ số. Smythe
(1972) đã thu được luật mạnh số lớn Kolmogorov cho dãy nhiều chỉ số các biến
ngẫu nhiên. Luật số lớn Marcinkiewicz-Zygmund đối với dãy nhiều chiều được
Gut (1987), Klesov (1996) thiết lập. Thời gian gần đây có nhiều bài báo nghiên
cứu trong trường hợp hai chỉ số cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực (Hong
and Volodin (1999), L. V. Thanh (2005), N. V. Quang and N. N. Huy (2008))
hoặc nhận giá trị trên không gian Banach (N. V. Quang and L. H. Son (2006),
Rosalsky and L. V. Thanh (2006), N. V. Quang and N. V. Huan (2008)). Trên
cơ sở đọc và tìm hiểu tài liệu tham khảo, chúng tôi nghiên cứu đề tài Luật
số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian
Banach. Bố cục khóa luận gồm 2 chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày
các khái niệm về không gian Banach p-trơn đều, các khái niệm về tính bị chặn
ngẫu nhiên và bị chặn theo xác suất, đặc biệt là đã xây dựng được khái niệm
mảng các hiệu martingale. Đồng thời chúng tôi cũng đưa ra một số bổ đề và
các bất đẳng thức, đây chính là chìa khóa để có được các kết quả về luật số lớn
trong khóa luận.
Chương 2. Luật số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên
trong không gian Banach pưtrơn đều. Nội dung chính của khóa luận được
trình bày trong chương này, bao gồm hai tiết. Tiết 2.1 chúng tôi trình bày Luật
yếu số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach3
p-trơn đều đối với trường hợp chỉ số tất định và chỉ số ngẫu nhiên. Kết quả
trong tiết này đã được trình bày ở bài báo [8] mà tác giả đã viết chung với thầy
giáo Nguyễn Văn Quảng. Tiết 2.2 chúng tôi thiết lập Luật mạnh số lớn cho
mảng các hiệu martingale, luật số lớn kiểu Marcinkiewicz cho mảng phù hợp
các phần tử ngẫu nhiên. Một số kết quả của chúng tôi đưa ra là tổng quát hơn
các kết quả trước đó.
Khóa luận được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận
tình, chu đáo của Thầy giáo, PGS. TS Nguyễn Văn Quảng. Tác giả xin được
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến
thức, kinh nghiệm trong học tập, nghiên cứu khoa học và các bài học trong cuộc
sống. Nhân dịp này tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo, Th.S Lê
Văn Thành đã giúp đỡ tác giả về những tài liệu tham khảo. Đồng thời tác giả
xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo
trong khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập. Cuối
cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân và tất cả bạn bè đã động viên
giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và
hoàn thành khóa luận.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên khóa luận
chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được
những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô giáo và góp ý của bạn đọc để khóa
luận được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 5 năm 2009
Tác giả4
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong toàn bộ khóa luận, ta luôn giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất đầy
đủ cố định. Với a, b ∈ R, min{a, b} và max{a, b} được kí hiệu là a ∧ b và a ∨ b.
Kí hiệu C là một hằng số dương, nhưng hằng số đó không nhất thiết phải giống
nhau trong các lần xuất hiện. Kí hiệu log chỉ logarit cơ số 2 và log
+
x = log(1∨x).
Với x > 0, kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.
1.1 Không gian Banach p-trơn đều
1.1.1 Định nghĩa. Không gian Banach khả li X được gọi là không gian Banach
p-trơn đều (1 6 p 6 2) nếu
ρ(τ ) = sup
n
kx + yk + kx ư yk
2
ư 1; ∀ x, y ∈ X ; kxk = 1, kyk = τ
o
6 Cτ
p
với C là một hằng số nào đó.
Nhận xét. Đường thẳng thực R là trường hợp đặc biệt của không gian
Banach p-trơn đều với p = 2.
Định lý sau đây của Assouad đưa ra điều kiện cần và đủ để một không gian
Banach khả li X là không gian Banach p-trơn đều
1.1.2 Định lý. (Assouad) Không gian Banach khả li X là p-trơn đều (1 6
p 6 2) nếu và chỉ nếu với mọi q > 1, tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi
martingale {Sn, Fn, n > 1} nhận giá trị trên X đều có
EkSnk
q
6 CE
Xn
i=1
kSi ư Siư1k
p
q/p
, ∀n ∈ N. (1.1.1)
(Bất đẳng thức Marcinkiewicz - Zygmund)