Thạc Sĩ Luật mạnh số lớn đối với tổng trọng số các biến ngẫu nhiên

Đề tài: Luật mạnh số lớn đối với tổng trọng số các biến ngẫu nhiên

MỞ ĐẦU
Luật mạnh số lớn đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết xác suất.
Luật số lớn đầu tiên do James Bernoulli công bố năm 1713. Về sau kết quả
này được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov . mở rộng. Tuy nhiên phải
đến năm 1909 luật mạnh số lớn mới được E.Borel phát hiện. Kết quả này
được Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926. Trên cơ sở đọc hiểu và tìm hiểu
tài liệu tham khảo, chúng tôi nghiên cứu đề tài " Luật mạnh số lớn đối
với tổng trọng số các biến ngẫu nhiên".
Khóa luận được chia làm 2 chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 1 trình bày một số định nghĩa và tính chất để làm công cụ nghiên
cứu chương sau. Các kiến thức trình bày ở đây chủ yếu trích dẫn từ [2] và [3].
Chương 1 gồm 3 tiết. Tiết 1.1, chúng tôi trình bày các khái niệm như không
gian xác suất, biến ngẫu nhiên và tính độc lập .Tiết 1.2, chúng tôi trình bày
một số bất đẳng thức cơ bản để làm công cụ nghiên cứu các tiết sau. Luật
số lớn được trình bày ở tiết 1.3. Sau khi trình bày khái niệm luật số lớn,
chúng tôi trình bày một số luật số lớn cổ điển nổi tiếng.
Chương 2: Luật mạnh số lớn đối với tổng trọng số các biến
ngẫu nhiên.
Đây là nội dung chính của khóa luận, bao gồm 2 tiết. Tiết 2.1 chúng tôi
thiết lập luật mạnh số lớn đối với tổng trọng số các biến ngẫu nhiên độc lập,
bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X. Kết quả chính trong tiết này mở
rộng Định lý 2.1 trong [4]. Trong tiết này chúng tôi cũng trình bày lại chi3
tiết Định lý 2.2 trong [4]. Tiết 2.2 chúng tôi trình bày lại chi tiết Định lý
3.1, Bổ đề 3.2, Định lý 3.3, Định lý 3.4, và Mệnh đề 3.6 trong [5].
Khóa luận được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của
TS. Lê Văn Thành. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự
nhiệt tình hướng dẫn đã dành cho tác giả trong suốt quá trình hoàn thành
khóa luận.
Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán ,
các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Vinh, gia đình và bạn bè
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả được học tập và hoàn thành khóa
luận.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song do khả năng bản thân còn hạn chế nên
khóa luận chắn hẳn còn nhiều thiếu sót. Kính mong sự góp ý của quý thầy
cô cùng toàn thể các bạn sinh viên.
Vinh, tháng 5 năm 2010
Tác giả4
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản
1.1.1 Định nghĩa. Cho Ω là một tập khác rỗng. Một họ F những tập con
của Ω được gọi là một σ- đại số nếu thỏa mãn ba điều kiện
i) Ω ∈ F,
ii)Nếu A ∈ F thì Ω \ A ∈ F,
iii) Nếu An ∈ F, n ≥ 1 thì
S∞
i=1 An ∈ F.
1.1.2 Định nghĩa. Cho Ω là một tập khác rỗng và F là một σ- đại số các
tập con của Ω. Hàm tập P xác định trên F được gọi là một độ đo xác suất
nếu thõa mãn ba điều kiện
i) P(A) ≥ 0 ∀A ∈ F,
ii)P(Ω) = 1,
iii) Nếu {An, n ≥ 1} là dãy các tập con đôi một rời nhau thuộc F thì
P(
[∞
i=1
An) =
X∞
i=1
P(An).
1.1.3 Định nghĩa. Cho Ω là một tập khác rỗng và F là một σ- đại số các
tập con của Ω và P là một độ đo xác suất trên F. Khi đó bộ ba (Ω, F, P)
được gọi là không gian xác suất tổng quát.
Nếu với A ∈ F thỏa mãn P(A) = 0 mà ta có B ∈ F, ∀B ⊂ A thì F được5
gọi là σ- đại số đầy đủ và P được gọi là độ đo xác suất đầy đủ. Khi đó,
không gian (Ω, F, P) được gọi là không gian xác suất đầy đủ.
1.1.4 Định nghĩa. Ký hiệu R là tập hợp tất cả các số thực và B(R) là σ-
đại số nhỏ nhất chứa các khoảng mở dạng (a, b), (a, b ∈ R). Khi đó B(R)
được gọi là σ- đại số Borel trong R. Mỗi phần tử của B(R) được gọi là một
tập Borel.
1.1.5 Định nghĩa. Hàm thực X : Ω → R được gọi là hàm F - đo được
hoặc biến ngẫu nhiên nếu
{ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} = X
ư1
(B) ∈ F, ∀B ∈ B(R).
1.1.6 Định nghĩa. Hàm số FX(x) = P {ω ∈ Ω : X(ω) < x} , x ∈ R được
gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X.
1.1.7 Định nghĩa. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên thì họ
σ(X) =
X
ư1
(B) : B ∈ B
được gọi là σ- đại số sinh bởi X.
1.1.8 Định nghĩa. Cho dãy các biến ngẫu nhiên X1, X2, . có các hàm
phân phối tương ứng là FX1
, FX2
, . Các biến ngẫu nhiên trên được gọi là
cùng phân phối nếu
FX1
(x) = FX2
(x) = . ∀x ∈ R.
1.1.9 Định nghĩa. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất.
i) Họ hữu hạn {Fi
, i ∈ I} các σ - đại số con của F được gọi là độc lập nếu
P(
\
i∈I
Ai) =
Y
i∈I
P(Ai), ∀Ai ∈ Fi
, i ∈ I.
ii) Họ vô hạn các σ - đại số con của F được gọi là độc lập nếu mỗi họ con
của nó độc lập.