Thạc Sĩ Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc

Đề tài: Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc
MỞ ĐẦU
Luật số lớn đóng một vai trò rất quan trọng trong Lý thuyết Xác suất. Luật
số lớn đầu tiên của J.Bernoulli được công bố năm 1713. Về sau kết quả này
được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov, . mở rộng. Tuy nhiên, phải đến
năm 1909 luật mạnh số lớn mới được E.Borel phát hiện. Kết quả này được
Kolmogorov hoàn thiện năm 1926.
Năm 1987, Moricz đã đưa ra khái niệm m-phụ thuộc của dãy các biến ngẫu
nhiên. Trong thời gian gần đây, có nhiều bài báo nghiên cứu về Luật mạnh số
lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc.
Trên cơ sở đọc và tìm hiểu các tài liệu tham khảo, chúng tôi nghiên cứu đề
tài "Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc". Mục
đích chính của đề tài là thiết lập luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên
m-phụ thuộc đôi một theo khối bằng cách sử dụng phương pháp tương tự như
trong một số tài liệu tham khảo [4], [5], [6].
Khóa luận gồm 2 chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi đưa ra các
khái niệm về tính độc lập, độc lập đôi một, khái niệm về m-phụ thuộc, m-phụ
thuộc đôi một, m-phụ thuộc đôi một theo khối và m-phụ thuộc theo khối, khái
niệm về bị chặn ngẫu nhiên, khái niệm về Luật số lớn. Đồng thời chúng tôi đưa
ra một số bất đẳng thức và bổ đề thường sử dụng để chứng minh Luật mạnh
số lớn.
Chương 2. Luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ
thuộc. Đây là nội dung chính của khóa luận, bao gồm hai tiết. Tiết 2.1 chúng
tôi trình bày chi tiết lại Luật mạnh số lớn Brunk-Chung cho dãy các biến ngẫu
nhiên m-phụ thuộc theo khối trong [5]. Tiết 2.2 chúng tôi thiết lập Luật mạnh
số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối. Kết quả
trong tiết này tổng quát Định lý 1 trong [6].
2Khóa luận được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận
tình của Thạc sĩ Lê Văn Thành. Nhân dịp này cho phép tác giả bày tỏ lời cảm
ơn sâu sắc nhất tới ThS. Lê Văn Thành, người thầy đã tận tình hướng dẫn
tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận. Tác giả xin gửi
lời cảm ơn tới thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng, thầy giáo PGS.TS. Trần
Xuân Sinh. Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán,
các thầy cô giáo trong Khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy, cuối cùng tác giả
cảm ơn tất cả các bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp 45B Toán đã động viên
giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và
hoàn thành khóa luận.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên khóa luận
không thể tránh khỏi những thiếu sót về cả nội dung lẫn hình thức. Vì vậy,
tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô giáo và
những góp ý của bạn đọc.
Vinh, tháng 05 năm 2008
Tác giả
3CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong toàn bộ khóa luận ta luôn giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất cố
định.
1.1. Tính độc lập, độc lập đôi một
1.1.1. Định nghĩa. Giả sử X là biến ngẫu nhiên, khi đó
F(X) = {X
ư1
(B) : B ∈ B(R)}
được gọi là σ-đại số sinh bởi X.
Họ hữu hạn {Fi
, 1 ≤ i ≤ n} các σ-đại số con của F được gọi là độc lập nếu
P
\n
i=1
Ai
!
=
Yn
i=1
P(Ai),
đối với mọi Ai ∈ Fi (1 ≤ i ≤ n) bất kỳ.
Họ vô hạn {Fi
, i ∈ I} các σ-đại số con của F được gọi là độc lập nếu mọi
họ con hữu hạn của nó độc lập.
Họ các biến ngẫu nhiên {Xi
, i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các σ-đại số
sinh bởi chúng {F(Xi), i ∈ I} độc lập.
Họ các biến cố {Ai
, i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu nhiên
{IAi
, i ∈ I} độc lập.
1.1.2. Định nghĩa. Tập các biến ngẫu nhiên {Xi
, i ∈ I} được gọi là độc
lập đôi một nếu Xi và Xj độc lập, với mọi i =6 j, i, j ∈ I.
1.2. Tính m-phụ thuộc, m-phụ thuộc đôi một, m-phụ thuộc đôi một
theo khối và m-phụ thuộc theo khối
Giả sử m là số nguyên không âm.
41.2.1. Định nghĩa. Một họ các biến ngẫu nhiên {Xi
, 1 ≤ i ≤ n} được gọi
là m-phụ thuộc nếu n ≤ m + 1, hoặc n > m + 1 và họ {Xi
, 1 ≤ i ≤ k} độc lập
với họ {Xi
, l ≤ i ≤ n} khi l ư k > m.
Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là m-phụ thuộc nếu họ
{Xi
, 1 ≤ i ≤ k} độc lập với họ {Xn, n ≥ l} khi l ư k > m.
1.2.2. Định nghĩa. Một họ các biến ngẫu nhiên {Xi
, 1 ≤ i ≤ n} được gọi
là m-phụ thuộc đôi một nếu n ≤ m + 1, hoặc n > m + 1 và hai biến ngẫu nhiên
Xi và Xj độc lập với nhau khi j ư i > m.
Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là m-phụ thuộc đôi một
nếu Xi và Xj độc lập với nhau khi j ư i > m.
1.2.3. Định nghĩa. Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là
m-phụ thuộc đôi một theo khối nếu với mỗi số nguyên dương p họ
{Xi
, 2
pư1 < i ≤ 2
p
} là m-phụ thuộc đôi một.
1.2.4. Định nghĩa. Giả sử {βk, k ≥ 1} là dãy số nguyên dương tăng ngặt
với β1 = 1, và đặt Bk = [βk, βk+1).
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là m-phụ thuộc theo khối
đối với các khối {Bk, k ≥ 1} nếu với mỗi k ≥ 1, họ các biến ngẫu nhiên
{Xi
, i ∈ Bk} là m-phụ thuộc.
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn, n ≥ 1} được gọi là m-phụ thuộc đôi một theo
khối đối với các khối {Bk, k ≥ 1} nếu với mỗi k ≥ 1, họ các biến ngẫu nhiên
{Xi
, i ∈ Bk} là m-phụ thuộc đôi một.
Đối với {βk, k ≥ 1} và {Bk, k ≥ 1} như đã nói ở trên chúng ta đưa vào các
ký hiệu sau đây:
B(l) = {k ∈ N : 2
l ≤ k < 2
l+1
}, l ≥ 0,
B
(l)
k = Bk ∩ B(l)
, k ≥ 1, l ≥ 0,
Il = {k ≥ 1 : B
(l)
k =6 ∅}, l ≥ 0,
r
(l)
k = min{r : r ∈ B
(l)
k
}, k ∈ Il
, l ≥ 0,
5