Luận Văn Luận văn Nhóm Lie phương trình vi phân

Trong to¸n h‰c, mÈt nh„m Lie, Æ­Óc ÆÆt t™n theo nhµ to¸n h‰c ng­Íi
Na Uy lµ Sophus Lie, lµ mÈt nh„m cÚng lµ mÈt Æa t¹p tr¨n (differentiable
manifold), vÌi t›nh ch t lµ c¸c to¸n tˆ nh„m t­¨ng th›ch vÌi c u trÛc tr¨n.
Nh„m Lie ƹi diưn cho l˝ thuy’t ph¸t tri”n cÒa c¸c ÆËi x¯ng li™n tÙc cÒa
c¸c c u trÛc to¸n h‰c. ßi“u nµy Æ· lµm nh„m Lie lµ c´ng cÙ cho g«n nh­
t t c¶ c¸c ngµnh to¸n hiưn ƹi, vµ vÀt l˝ l˝ thuy’t hiưn ƹi, ÆÆc biưt lµ
trong vÀt l˝ h¹t.
BÎi v× c¸c nh„m Lie lµ c¸c Æa t¹p, chÛng c„ th” Æ­Óc nghi™n c¯u sˆ
dÙng gi¶i t›ch vi ph©n (differential calculus), t­¨ng ph¶n vÌi tr­Íng hÓp
c¸c nh„m t´p´ tÊng qu¸t h¨n. MÈt trong nh˜ng ˝ t­Îng ch›nh trong l˝
thuy’t v“ nh„m Lie, Æ“ ra bÎi Sophus Lie lµ thay th’ c u trÛc toµn cÙc,
nh„m, vÌi phi™n b¶n mang t›nh Æfia ph­¨ng cÒa n„ hay cfln g‰i lµ phi™n
b¶n Æ· Æ­Óc lµm tuy’n t›nh ho¸, mµ Lie g‰i lµ mÈt nh„m c˘c nh· mµ b©y
giÍ Æ­Óc bi’t Æ’n nh­ lµ ƹi sË Lie.
Nh„m Lie Æ· cung c p mÈt ph­¨ng tiưn t˘ nhi™n Æ” ph©n t›ch c¸c ÆËi
x¯ng li™n tÙc cÒa c¸c ph­¨ng tr×nh vi ph©n (l˝ thuy’t Picard-Vessiot),
trong mÈt c¸ch th¯c nh­ c¸c nh„m ho¸n vfi (permutation group) Æ­Óc sˆ
dÙng trong l˝ thuy’t Galois Æ” ph©n t›ch c¸c ÆËi x¯ng rÍi r¹c cÒa c¸c
ph­¨ng tr×nh ƹi sË.
Trong bµi kho¸ luÀn nµy, t¸c gi¶ xin tr×nh bµy mÈt sË nghi™n c¯u c¨ b¶n
v“ nh„m Lie mÈt tham sË, nh„m Lie 2 tham sË vµ c¸c ¯ng dÙng cÒa chÛng
trong viưc gi¶i ph­¨ng tr×nh vi ph©n. C¸c bµi to¸n vµ v› dÙ Æ­Óc tr×nh
bµy trong kh„a luÀn Æ­Óc tr›ch d n tı cuËn Symmetry anh Integration
4
www.VNMATH.comLÍi mÎ Æ«u 5
Methods for Differential Equations cÒa George W.Bluman and Stephen C.
Anco. ß©y lµ tµi liưu ch›nh Æ­Óc sˆ dÙng trong kho¸ luÀn nµy. T¸c gi¶
xin Æ­Óc tr×nh bµy chi ti’t c¸c ch¯ng minh vµ c¸c v› dÙ cÙ th” Æ” Æ­a ra
nh˜ng nguy™n l˝ n“n t¶ng nh­: c u t¹o vµ t›nh ch t c¨ b¶n cÒa nh„m Lie,
c¸ch ¸p dÙng l˝ thuy’t nh„m Lie trong gi¶i PTVP.
C u trÛc cÒa kh„a luÀn gÂm 2 ch­¨ng:
Ch­¨ng1: Ki’n th¯c chu»n bfi
1.1 Nh„m Lie c¸c ph–p bi’n ÆÊi mÈt tham sË.
Trong ph«n nµy, tr×nh bµy ßfinh ngh‹a nh„m, nh„m c¸c ph–p
bi’n ÆÊi, nh„m Lie c¸c ph–p bi’n ÆÊi mÈt tham sË; Bi’n ÆÊi vi
ph©n, To¸n tˆ sinh vi ph©n, ßfinh l˝ c¨ b¶n Lie th¯ nh t.V› dÙ.
1.2 Nh„m Lie c¸c ph–p bi’n ÆÊi hai tham sË.
Trong ph«n nµy, tr×nh bµy ßfinh ngh‹a nh„m Lie hai tham sË, ß¹i
sË Lie, t›nh gi¶i Æ­Óc. V› dÙ minh h‰a.
Ch­¨ng2: øng dÙng cÒa t›nh ÆËi x¯ng vµo viưc gi¶i ph­¨ng tr×nh vi ph©n
1.1 øng dÙng nh„m Lie c¸c ph–p bi’n ÆÊi mÈt tham sË Æ” gi¶i ph­¨ng
tr×nh vi ph©n c p 1.
1.2 øng dÙng ß¹i sË Lie Æ” gi¶i ph­¨ng tr×nh vi ph©n c p cao.
MÆc dÔ Æ· r t cË gæng nh­ng do thÍi gian vµ tr×nh ÆÈ cfln h¹n ch’ n™n
kh„a luÀn chæc chæn kh´ng tr¸nh kh·i nh˜ng thi’u s„t. T¸c gi¶ r t mong
nhÀn Æ­Óc nh˜ng ˝ ki’n Æ„ng g„p qu˝ b¸u cÒa qu˝ Th«y, C´ vµ c¸c b¹n.
MÙc lÙc
MÙc lÙc 1
LÍi c¶m ¨n 3
LÍi mÎ Æ«u 4
1 Ki’n th¯c chu»n bfi 6
1.1 Nh„m . 6
1.2 Nh„m Lie c¸c ph–p bi’n ÆÊi mÈt tham sË 9
1.2.1 Nh„m c¸c ph–p bi’n ÆÊi 9
1.2.2 Nh„m Lie c¸c ph–p bi’n ÆÊi mÈt tham sË 10
1.2.3 Bi’n ÆÊi vi ph©n 15
1.2.4 ßfinh l˝ Lie c¨ b¶n th¯ nh t 15
1.2.5 To¸n tˆ sinh vi ph©n 19
1.2.6 Hµm b t bi’n 23
1.3 Nh„m Lie c¸c ph–p bi’n ÆÊi hai tham sË . 24
1.3.1 ßfinh ngh‹a 24
1.3.2 To¸n tˆ sinh vi ph©n 27
1.3.3 ß¹i sË Lie 32
1.3.4 ß¹i sË Lie gi¶i Æ­Óc 35
1
www.VNMATH.comMÙc lÙc 2
2 øng dÙng t›nh ÆËi x¯ng vµo viưc gi¶i ph­¨ng tr×nh vi ph©n 37
2.1 ¯ng dÙng nh„m Lie mÈt tham sË vµo gi¶i ph­¨ng tr×nh vi
ph©n c p I . 37
2.1.1 Hư to¹ ÆÈ ch›nh tæc . 37
2.1.2 ¯ng dÙng nh„m Lie c¸c ph–p bi’n ÆÊi mÈt tham sË
vµo gi¶i ph­¨ng tr×nh vi ph©n c p I 40
2.2 ¯ng dÙng ß¹i sË Lie Æ” gi¶i ph­¨ng tr×nh vi ph©n c p cao . 43
2.2.1 Nh„m Lie c¸c ph–p bi’n ÆÊi mÈt tham sË ÆÈc lÀp,
mÈt tham sË phÙ thuÈc . 43
2.2.2 V› dÙ ¯ng dÙng ß¹i sË Lie vµo gi¶i ph­¨ng tr×nh vi
ph©n bÀc cao . 49
K’t luÀn 53
Tµi liưu tham kh¶o 54