Luận Văn Luận án : Nghiên cứu về hình học fractal. Viết chương trình cài đặt một số đường và mặt fractal

LỜI NÓI ĐẦU​
Trong những năm gần đây, toán học và khoa học tự nhiên đã bước lên một bậc thềm mới, sự mở rộng và sáng tạo trong khoa học trở thành một cuộc thử nghiệm liên ngành. Cho đến nay nó đã đưa khoa học tiến những bước rất dài. Hình học phân hình đã được đông đảo mọi người chú ý và thích thú nghiên cứu. Với một người quan sát tình cờ màu sắc của các cấu trúc phân hình cơ sở và vẽ đẹp của chúng tạo nên một sự lôi cuốn hình thức hơn nhiều lần so với các đối tượng toán học đã từng được biết đến. Hình học phân hình đã cung cấp cho các nhà khoa học một môi trường phong phú cho sự thám hiểm và mô hình hoá tính phức tạp của tự nhiên. Những nguyên nhân của sự lôi cuốn do hình học phân hình tạo ra là nó đã chỉnh sửa được khái niệm lỗi thời về thế giới thực thông qua tập hợp các bức tranh mạnh mẽ và duy nhất của nó.

Những thành công to lớn trong các lĩnh vực của khoa học tự nhiên và kỹ thuật dẫn đến sự ảo tưởng về một thế giới hoạt động như một cơ chế đồng hồ vĩ đại, trong đó các quy luật của nó chỉ còn phải chờ đợi để giải mã từng bước một. Một khi các quy luật đã được biết, người ta tin rằng sự tiến hoá hoặc phát triển của các sự vật sẽ được dự đoán trước chính xác hơn nhiều, ít ra là về mặt nguyên tắc. Những bước phát triển ngoạn mục đầy lôi cuốn trong lĩnh vực kỹ thuật máy tính và sự hứa hẹn cho việc điều khiển thông tin nhiều hơn nữa của nó đã làm gia tăng hy vọng của nhiều người về máy móc hiện có và cả những máy móc ở tương lai. Nhưng ngày nay người ta đã biết chính xác dựa trên cốt lỗi của khoa học hiện đại là khả năng xem xét tính chính xác các phát triển ở tương lai như thế sẽ không bao giờ đạt được. Một kết luận có thể thu được từ các lý thuyết mới còn rất non trẻ đó là : giữa sự xác định có tính nghiêm túc với sự phát triển có tính ngẫu nhiên không những không có sự loại trừ lẫn nhau mà chúng còn cùng tồn tại như một quy luật trong tự nhiên. Hình học phân hình và lý thuyết hỗn độn xác định kết luận này. Khi xét đến sự phát triển của một tiến trình trong một khoảng thời gian, chúng ta sử dụng các thuật ngữ của lý thuyết hỗn độn, còn khi quan tâm nhiều hơn đến các dạng có cấu trúc mà một tiến trình hỗn độn để lại trên đường đi của nó, chúng ta dùng các thuật ngữ của hình học phân hình là bộ môn hình học cho phép “sắp xếp thứ tự” sự hỗn độn. Trong ngữ cảnh nào đó hình học phân hình là ngôn ngữ đầu tiên để mô tả, mô hình hoá và phân tích các dạng phức tạp đã tìm thấy trong tự nhiên. Nhưng trong khi các phần tử của ngôn ngữ truyền thống (Hình học Euclide) là các dạng hiển thị cơ bản như đoạn thẳng, đường tròn và hình cầu thì trong hình học phân hình đó là các thuật toán chỉ có thể biến đổi thành các dạng và cấu trúc nhờ máy tính.

Việc nghiên cứu ngôn ngữ hình học tự nhiên này mở ra nhiều hướng mới cho khoa học cơ bản và ứng dụng. Trong đề tài này chỉ mới thực hiện nghiên cứu một phần rất nhỏ về hình học phân hình và ứng dụng của nó. Nội dung của đề tài gồm có ba chương được trình bày như sau:

Chương I: Trình bày các kiến thức tổng quan về lịch sử hình học phân hình, về các kết quả của cơ sở lý thuyết.

Chương II: Trình bày các kỹ thuật hình học phân hình thông qua sự khảo sát các cấu trúc Fractal cơ sở và thuật toán chi tiết để tạo nên các cấu trúc này.

Chương III: Kết quả cài đặt chương trình vẽ một số đường mặt fractal và các hiệu ứng.

Nhân đây, em xin chân thành cảm ơn thầy T.S Huỳnh Quyết Thắng đã tận tình hướng dẫn, chỉ dạy giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện đề tài nghiên cứu này.

Em cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa công nghệ thông tin đã tận tình giảng dạy, trang bị cho chúng em những kiến thức cần thiết trong suốt quá trình học tập, và em cũng xin gởi lòng biết ơn đến gia đình, cha, mẹ, và bạn bè đã ủng hộ, giúp đỡ và động viên em trong những lúc khó khăn.

Đề tài được thực hiện trong một thời gian tương đối ngắn, nên dù đã hết sức cố gắng hoàn thành đề tài nhưng chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Rất mong nhận được sự thông cảm và đóng góp những ý kiến vô cùng quý báu của các Thầy Cô, bạn bè, nhằm tạo tiền đề thuận lợi cho việc phát triển đề tài trong tương lai.

Sinh viên thực hiện
Nguyễn Ngọc Hùng Cường.




















MỤC LỤC
Trang

LỜI NÓI ĐẦU 1
Chương I:SỰ RA ĐỜI VÀ CÁC KẾT QUẢ CỦA HÌNH HỌC PHÂN HÌNH . 5
I.1 Sự ra đời của lý thuyết hình học phân hình . 5
Tính hỗn độn của các quá trình phát triển có quy luật trong tự nhiên . 5
Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình học Eulide cổ điển 8
I.2 Sự phát triển c ủa l ý thuyết hình học phân hình 9
I.3 Các ứng dụng tổng quát của hình học phân hình . 10
Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính 11
Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh . 11
Ứng dụng trong khoa học cơ bản . 13
I.4 Các kiến thức cơ sở của hình học phân hình . 13
I.4.1 Độ đo Fractal 13
I.4.2 Các hệ hàm lặp IFS 17
Chương II : MỘT SỐ KỸ THUẬT CÀI ĐẶT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH . 21
II.1 Họ đường Von Kock . 21
Đường hoa tuyết Von Kock-Nowflake 21
Đường Von Kock-Gosper . 26
Đường Von Kock bậc hai 3-đoạn . 28
Đường Von Kock bậc hai 8-đoạn . 30
Đường Von Kock bậc hai 18-đoạn 32
Đường Von Kock bậc hai 32-đoạn 33
Đường Von Kock bậc hai 50-đoạn 35
Generator phức tạp . 38
II.2 Họ đường Peano 44
Đường Peano nguyên thuỷ 44
Đường Peano cải tiến . 45
Tam giác Cesaro . 49
Tam giác Cesaro cải tiến . 51
Một dạng khác của đường Cesaro 54
Tam giác Polya 56
Đường Peano-Gosper 58
Đường hoa tuyết Peano 7-đoạn . 62
Đường hoa tuyết Peano 13-đoạn . 66
II.3 Đường Sierpinski 70
II.4 Cây Fractal . 73
Các cây thực tế . 73
Biểu diễn toán học của cây 73
II.5 Phong cảnh Fractal . 77
II.6 Hệ thống hàm lặp (IFS) 84
Các phép biến đổi Affine trong không gian R2 . 84
IFS của các pháp biến đổi Affine trong không gian R2 85
Giải thuật lặp ngẫu nhiên . 86
II.7 Tập Mandelbrot . 88
Đặt vấn đề . 98
Công thức toán học 88
Thuật toán thể hiện tập Mandelbrot 89
II.8 Tập Julia 94
Đặt vấn đề . 94
Công thức toán học . 94
Thuật toán thể hiện tập Julia 95
II.9 Họ các đường cong Phoenix . 97
Chương III : GIỚI THIỆU VỀ NGÔN NGỮ CÀI ĐẶT VÀ KẾT QUẢ CHƯƠNG TRÌNH. 100
III.1 Giới thiệu về ngôn ngữ cài đặt . 100
III.2 Kết quả chương trình . 111
TÀI LIỆU THAM KHẢO