Thạc Sĩ Liên phân số và xấp xỉ tốt

Mục lục
1 Nhắc lại vành Z 4
1.1 Vành chính Z . 4
1.2 Phép chia với dư . 5
1.3 Số nguyên tố và Định lý cơ bản của số học . 6
2 Liên phân số-Continued fractions 9
2.1 Liên phân số 9
2.1.1 Liên phân số từ hai dãy số cho trước 9
2.1.2 Liên phân số hữu hạn 13
2.1.3 Liên phân số vô hạn . 15
2.2 Biểu diễn qua liên phân số hữu hạn . 21
2.2.1 Phương trình ax + by + c = 0 21
2.2.2 Biểu diễn dãy truy hồi 22
2.2.3 Biểu diễn tổng hữu hạn qua liên phân số 27
2.2.4 Biểu diễn liên phân số hữu hạn qua định thức . 32
2.3 Biểu diễn chuỗi qua liên phân số vô hạn 33
2.4 Một vài vận dụng . 40
1Lời nói đầu
Trong thực tế, khi làm việc với một số vô tỷ thì người ta thường phải
dùng phân số gần đúng với nó để sử dụng. Chẳng hạn để tính toán
với số π, các nhà toán học thời xưa đã dùng những phân số gần đúng
trong tính toán, chẳng hạn:
22
7
hoặc
355
113
.
Vấn đề đặt ra: Có thể tìm ra các phân số gần đúng khác nữa đối với
số π mà mẫu số nằm trong một khoảng nào đó hay không ? Nên dùng
phân số nào mà mẫu số và tử số không vượt quá số điều kiện nào đấy
mà sai số với π lại là đủ nhỏ?
Thông thường, người ta chỉ xét các phân số với tử số là số nguyên,
còn mẫu số là một số nguyên dương. Ta gọi khoảng cách giữa số vô tỷ
α với phân số
p
q
trên trục số là sai số tuyệt đối của
p
q
đối với α và ký
hiệu



p
q
ư α



. Thông thường khi chọn phân số có mẫu số càng lớn thì
sai số của nó càng nhỏ, nhưng điều đó không phải lúc nào cũng đúng.
Do vậy, nên chọn những sai số gần đúng theo tiêu chuẩn nào có sai số
nhỏ hơn trong nhiều phân số đã biết? Những câu hỏi như vậy, đòi hỏi
phải xây dựng khái niệm mới là phân số gần đúng tốt nhất và để tìm
nó cần xét đến phân số này kề trước phân số kia. Chính vì những lý
do như trên, việc nghiên cứu liên phân số là cần thiết. Vấn đề mà tác
giả tập trung nghiên cứu là liên phân số và xấp xỉ tốt.
Ngoài phần mở đầu và kết luận cùng tài liệu tham khảo, nội dung
luận văn được chia làm hai chương với 7 mục.
Chương một tập trung nghiên cứu về vành chính Z , gồm ba mục. Mục
1.1 nhắc lại khái niệm vành Z và một vài tính chất. Mục 1.2 tập trung
trình bày lại phép chia hết. Mục 1.3 trình bày kết quả về số nguyên
tố và định lý cơ bản của số học.
23
Chương hai tập trung trình bày về liên phân số và xấp xỉ tốt, gồm 4
mục . Mục 2.1 được trình bày lý thuyết về liên phân số ,Mục 2.2 Trình
bày biểu diễn qua liên phân số hữu hạn , Mục 2.3 Biểu diễn chuỗi qua
liên phân số vô hạn và cuối cùng là Mục 2.4 một vài ứng dụng về liên
phân số
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và
nghiêm khắc của Phó Giáo Sư - Tiến sĩ Đàm Văn Nhỉ . Qua đây tôi
bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn chân thành đối với thầy hướng dẫn
, người đã tận tình chỉ bảo quan tâm động viên và giúp đỡ tôi hoàn
thành bản luận văn này . Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các
thầy cô các cán bộ khoa toán và các cán bộ quản lý khoa học - Trường
Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên đã hết lòng giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu . Cuối cùng tôi xin cảm ơn các
anh, chị các bạn lớp cao học Toán K7Q của trường Đại học Khoa học
Thái Nguyên đã động viên tinh thần, chia sẻ những khó khăn và giúp
đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 04 năm 2015
Tác giả
Trần Thị Thu Hiền