Le lemme fondamental pour les groupes unitaires By G erard Laumon and Bao Ch^ au Ng^ o Abstract Let G be an unrami ed reductive group over a nonarchimedian local eld F . The so-called Langlands Fundamental Lemma is a family of con-jectural identities between orbital integrals for G(F ) and orbital integrals for endoscopic groups of G. In this paper we prove the Langlands fundamental lemma in the particular case where F is a nite extension of Fp ((t)), G is a unitary group and p > rank(G). Waldspurger has shown that this particular case implies the Langlands fundamental lemma for unitary groups of rank < p when F is any nite extension of Qp . We follow in part a strategy initiated by Goresky, Kottwitz and MacPher-son. Our main new tool is a deformation of orbital integrals which is con-structed with the help of the Hitchin bration for unitary groups over projec-tive curves. 0. Introduction 0.1. Le lemme fondamental de Langlands et Shelstad. Soient F un corps local nonarchimedien de caracteristique residuelle di erente de 2, F 0 hh son ii extension quadratique non rami ee et l'element non trivial du groupe de Galois de F 0 sur F . On considere le groupe unitaire quasi-deploye G = U(n) sur F dont le groupe des points rationnels sur F est G(F ) = fg 2 GL(n; F 0 ) j ( t g) n g = n g ou la matrice n a pour seules entrees non nulles les ( n ) i;n+1 i = 1. Soient n = n1 + n2 une partition non triviale et H = U(n1 ) U(n2 ) le groupe endoscopique de G correspondant. Soient = ( 1 ; 2 ) un element semi-simple, regulier et elliptique de H(F ) et T = T 1 T 2 U(n1 ) U(n2) = H son centralisateur; T 1 et T 2 sont des tores maximaux de U(n1 ) et U(n2 ) qui sont anisotropes sur F . Fixons un plongement de T comme tore maximal dans G et notons l'image de par ce 478 G ERARD LAUMON AND BAO CH ^ AU NG ^ O plongement. Supposons que l'element semi-simple et elliptique est regulier dans G. L'ensemble des classes de conjugaison dans la classe de conjugaison stable de dans G(F ) est en bijection naturelle 7! avec le groupe ni = r = f 2 (Z=2Z) r j 1 + + r = 0g ou r est le rang du F 0 -tore deploye maximal contenu dans le centralisateur de dans GL(n; F 0 ). De m^eme l'ensemble des classes de conjugaison dans la classe de conjugaison stable de dans H(F ) est en bijection naturelle 7! = ( 1 1 ; 2 2 ) avec le sous-groupe H = r1 r2 de ou r 1 et r 2 sont les rangs des F 0 -tores deployes maximaux contenus dans les centralisateurs de 1 dans GL(n1; F 0 ) et 2 dans GL(n2; F 0 ). On a bien s^ur r = r 1 + r 2 . Pour chaque 2 , le centralisateur T de est une forme interieure de T et est donc isomorphe a T . De m^eme, pour chaque 2 H , le centralisateur S de est une forme interieure de T et est donc lui aussi isomorphe a T . Notons OF 0 l'anneau des entiers de F 0 . Soient K = Kn = G(F ) GL(n; OF 0 ) et K H = Kn1 Kn2 les sous-groupes maximaux standard de G(F ) et H(F ). On normalise les mesures de Haar dg et dh de G(F ) et H(F ) en demandant que K et K H soient de volume 1. On considere les integrales orbitales O (1K ) = Z T (F )nG(F ) 1K (g 1 g) dg dt pour 2 et O H (1 K H ) = Z S (F )nH(F ) 1 K H (h 1 h) dh ds pour 2 H . On a xe une mesure de Haar sur T (F ), par exemple celle qui donne le volume 1 au sous-groupe compact maximal, et on a transporte, par les isomorphismes entre T et T et entre S et T signales plus haut, cette mesure en la mesure de Haar dt sur T (F ) pour chaque 2 et en la mesure de Haar ds sur S (F ) pour chaque 2 H . Soit : ! f1g le caractere dont le noyau est exactement H . On forme suivant Langlands et Shelstad (cf. [La-Sh]) les combinaisons lineaires d'integrales orbitales suivantes: la -int egrale orbitale O (1K ) = X 2 () O (1K ) et l 'int egrale orbitale stable endoscopique SO H (1 K H ) = X 2 H O H (1 K H ): Langlands et Shelstad (cf. [La-Sh]) ont de ni un facteur de transfert ( ; ), qui est le produit d'un signe et de la puissance jDG=H ( )j 1 2 LE LEMME FONDAMENTAL POUR LES GROUPES UNITAIRES 479 du nombre d'elements du corps residuel de F , et ils ont conjecture: Lemme fondamental. On a l 'identit e O (1K ) = ( ; ) SO H (1 K H ): Waldspurger a demontre que pour etablir cette conjecture pour F une extension nie de Qp , il susait de le faire lorsque F est une extension nie de Fp ((t)) (cf. [Wal 1]), et ce apres avoir remplace les groupes G et H par leurs algebres de Lie (cf. [Hal], [Wal 2], [Wal 3]). L'objet de cet article est de terminer la demonstration du lemme fonda-mental pour les groupes unitaires de rang n < p en traitant ce dernier cas: voir le theoreme 1.5.1 pour l'enonce precis. 0.2. Notre strat egie. Dans la preuve presentee ici, nous utilisons des idees de Goresky, Kottwitz et MacPherson, et du premier auteur, idees qui ont ete introduites dans les travaux anterieurs [G-K-M] et [Lau]. Comme dans [G-K-M] on exprime le facteur de transfert a l'aide d'une eche en cohomologie equivariante de sorte que le lemme fondamental se deduit d'un isomorphisme en cohomologie equivariante. Comme dans [Lau] on utilise un argument de deformation, qui fait hh glisser ii d'une situation d'intersection tres compliquee vers une situation d'intersection transversale. Les resultats de [G-K-M] dans le cas non rami e pour un groupe reductif quelconque, et de [Lau] dans le cas eventuellement rami e, mais pour le groupe unitaire uniquement, supposent demontree une conjecture de purete des bres de Springer. Une telle conjecture a ete formulee par Goresky, Kottwitz et MacPherson. Nous ne savons pas demontrer cette conjecture, mais nous contournons le probleme en demontrant en fait un autre enonce de purete, a savoir la purete d'un faisceau pervers lie a une famille hh universelle ii de -integrales orbitales globales. Pour cela nous nous fondons sur une interpretation geometrique de la theorie de l'endoscopie de Langlands et Kottwitz (cf. [Lan] et [Kot 1]) a l'aide de la bration de Hitchin ([Hit]). Cette interpretation, decouverte par le second auteur et presentee ici uniquement dans le cas des groupes unitaires, vaut en fait en toute generalite (cf. [Ngo]). En n, un argument dans l'esprit de ([Lau]) permet de conclure. 0.3. Plan de l 'article. Passons brievement en revue l'organisation de cet article. Dans le chapitre 1, nous explicitons l'enonce du lemme fondamen-tal pour les groupes unitaires, en termes de comptage des reseaux qui sont auto-duaux par rapport a une forme hermitienne et qui sont stables par une transformation unitaire