Tiến Sĩ Kỳ dị tại vô hạn của ánh xạ đa thức thực và bất đẳng thức Lojasiewicz suy rộng

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

Mục lục
Lời cam đoan 2
Lời cảm ơn 3
Một số quy ước và kí hiệu 6
MỞ ĐẦU 8
I. Lý do chọn đề tài . 8
II. Đối tượng, phạm vi, mục đích nghiên cứu . 9
III. Phương pháp nghiên cứu 11
IV. Những đóng góp mới của luận án 11
V. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án . 12
VI. Bố cục của luận án 13

CHƯƠNG 1. TÍNH RIÊNG CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC TỪ Rn VÀO Rn 15
1.1 Hàm đa thức riêng trên Rn 16
1.2 Vi phôi đa thức toàn cục trên Rn . 22

CHƯƠNG 2. CÁC GIÁ TRỊ TỚI HẠN CỦA KÌ DỊ TẠI VÔ HẠN CỦA CÁC HÀM ĐA THỨC VÀ CÁC HÀM HỮU TỈ TRÊN MẶT ĐẠI SỐ TRONG Rn 30
2.1 Bài toán đặc trưng giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn . 30
2.2 Các giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn của các hàm đa thức
và các hàm hữu tỉ trên mặt đại số trong Rn . 36
2.2.1 Phát biểu các kết quả 37
2.2.2 Chứng minh Định lí 2.2.12 . 45
2.2.3 Chứng minh Định lí 2.2.13 . 50
2.2.4 Chú ý 52
2.2.5 Ví dụ . 54

CHƯƠNG 3. NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND, BẤT ĐẲNG THỨC LOJASIEWICZ, VÀ HIỆN TƯỢNG KÌ DỊ TẠI VÔ HẠN CỦA CÁC HÀM ĐA THỨC 57
3.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cho các hàm đa thức . 60
3.1.1 Đường cong tiếp xúc 60
3.1.2 Nguyên lí Ekeland cho các hàm đa thức trên Rn . 62
3.1.3 Nguyên lí Ekeland cho các hàm đa thức trên R2 . 69
3.2 Bất đẳng thức Lojasiewicz của hàm đa thức trên các miền
không compact . 73
3.2.1 Hình học nửa đại số . 73
3.2.2 Các điều kiện tồn tại bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh
thớ và bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục 77
3.2.3 Bất đẳng thức Lojasiewicz suy rộng cạnh thớ và bất
đẳng thức Lojasiewicz suy rộng toàn cục . 85
3.3 Mối quan hệ giữa sự tồn tại bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh
thớ với hiện tượng kì dị tại vô hạn 92
3.3.1 Phát biểu các kết quả 92
3.3.2 Chứng minh các kết quả 93
3.3.3 Câu hỏi . 107

KẾT LUẬN 108
Các công trình liên quan đến luận án 110
Tài liệu tham khảo 111

Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài
Các tập đại số là một trong những đối tượng nghiên cứu cơ bản nhất của
Toán học. Lớp các tập đại số được nghiên cứu nhiều nhất là các tập phức
và các tập thực. Chúng được chia thành bốn loại:
ã Các tập đại số xạ ảnh phức;
ã Các tập đại số xạ ảnh thực;
ã Các tập đại số affine phức;
ã Các tập đại số affine thực.
Các kết quả mang tính nền tảng của Lefschetz S., Zariski O., Milnor J., .
và nhiều người khác đã đem đến những hiểu biết sâu sắc về các tính chất
tôpô, cấu trúc đại số, . của các tập đại số xạ ảnh phức ([46], [43], [13],
[9], .).
So với tập đại số xạ ảnh phức, các tập đại số xạ ảnh thực là đối tượng
khó nghiên cứu hơn. Chỉ khoảng 50 năm trở lại đây, với các công trình cơ
bản của Petrowsky, Arnold, Rokhlin, . về sự sắp xếp các oval của những
đường cong phẳng xạ ảnh thực không kì dị, việc nghiên cứu các tập xạ ảnh
thực bắt đầu hòa vào dòng phát triển chung và đang trở thành một lĩnh
vực sôi động với nhiều kết quả đặc sắc ([15], [33], [16], .).
Các tập đại số affine, cả phức lẫn thực, là đối tượng đặc biệt khó nghiên
cứu. Người ta vẫn hiểu rất ít về các tập affine phức, mặc dù các tập này
thu hút được sự chú ý của rất nhiều chuyên gia Hình học đại số và Hình
học tôpô như Dimca [10], Fary [44], Némethi [50], Malgrange [49], Phạm F.
[51], Lê Dũng Tráng [54], .

Những hiểu biết về tập đại số affine thực lại còn ít hơn nữa. ở đây, nhiều
bài toán tự nhiên, ngay cả với các đường cong affine thực, vẫn chưa có câu
trả lời.
Trong luận án, chúng tôi muốn tìm hiểu các tính chất tôpô của một số
lớp các tập đại số affine thực.
II. Đối tượng, phạm vi, mục đích nghiên cứu
Mỗi tập đại số affine thực (tương ứng, phức) V là tập không điểm của
một hệ các phương trình đa thức, tức là có dạng V = fư1(0), trong đó f
là một ánh xạ đa thức từ Rn đến Rk (tương ứng, từ Cn đến Ck).
Từ một kết quả rất tổng quát của Thom R. [53], mỗi ánh xạ đa thức f từ
tập đại số không kì dị V1 sang tập đại số không kì dị V2 xác định một phân
thớ tầm thường địa phương lớp C1 ngoài một tập đại số con B(f)  V2.
Đó là phân thớ Milnor toàn cục. Tập B(f) được gọi là tập các giá trị rẽ
nhánh của f. Có thể thấy rằng tập B(f) chứa tập các giá trị tới hạn (f)
của f. Nếu V1 không compact, ở đây xuất hiện một hiện tượng mới, mà
ta không gặp khi nghiên cứu trường hợp xạ ảnh, đó là hiện tượng kì dị tại
vô hạn. Nói chung, B(f) 6= (f), và các điểm thuộc B1(f) := B(f)\(f)
được gọi là các giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn. Nói một cách vắn tắt,
có hai nguyên nhân để f không xác định một phân thớ tầm thường quanh
thớ fư1(t), t 2 B(f):
ã Hoặc phân thớ này không tầm thường trong lân cận điểm kì dị, tức là
t 2 (f);
ã Hoặc phân thớ này không tầm thường trong lân cận điểm vô hạn, tức
là với mọi lân cận D của t, mọi r > 0,