Thạc Sĩ Không gian Tôpô đối xứng - không gian τ - đối xứng

Đề tài: Không gian Tôpô đối xứng - không gian τ - đối xứng
lực cùng khuôn khổ của khoá luận không cho phép nên chúng chưa được
giải quyết. Chúng tôi hy vọng sẽ giải quyết trong thời gian tiếp theo.
Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến
thầy giáo PGS. TS. Đinh Huy Hoàng, người đã trực tiếp tận tình hướng
dẫn tôi hoàn thành khoá luận này. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy,
cô giáo trong Khoa Toán, trường Đại Học Vinh đã quan tâm, giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập, đặc biệt là các thầy, cô giáo trong tổ Giải
tích.
Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên khoá luận này
chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được thầy, cô
và các bạn góp ý bổ sung. Tôi xin chân thành cảm ơn!
Vinh, tháng 5 năm 2009
Tác giả3
§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Trước khi đi vào nội dung chính,chúng ta cần nhắc lại một số khái
niệm và kết quả cơ bản của tôpô đại cương được sử dụng trong luận văn.
ở đây, chúng ta chỉ trình bày các kết quả, còn phần chứng minh có thể
tham khảo trong các tài liệu.
1.1 Định nghĩa ([1]). Họ P các tập con của không gian X được gọi là phủ
của tập con A trong X nếu A ⊂ ∪{P : P ∈ P}.Ta viết ∪{P : P ∈ P}.
Họ P các tập con của không gian X được gọi là một phủ của không
gian X nếu X ⊂ ∪ P.
Phủ P của không gian tôpô X được gọi là phủ đếm được theo điểm
nếu mỗi điểm x ∈ X chỉ thuộc nhiều nhất là đếm được tập thuộc P.
1.2 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T1-không gian nếu với
hai điểm bất kỳ x, y ∈ X, x =6 y tồn tại các lân cận tương ứng Ux, Uy của
x và y sao cho y /∈ Ux và x /∈ Uy.
Không gian tôpô X được gọi là T2-không gian nếu với hai điểm bất kỳ
x, y ∈ X, x =6 y tồn tại các lân cận tương ứng Ux, Uy của x và y sao cho
Ux ∩ Uy = ∅.
Không gian tôpô X được gọi là không gian chính quy nếu đối với
mọi tập đóng F ⊂ X và với x /∈ F tồn tại các tập mở U, V sao cho
F ⊂ U, x ∈ V và U ∩ V = ∅.
Không gian tôpô X được gọi là không gian chuẩn tắc nếu đối với hai
tập đóng rời nhau F1, F2 đều tồn tại các tập mở U1, U2 sao cho F1 ⊂
U1, F2 ⊂ U2 và U1 ∩ U2 = ∅.
1.3 Định lý. Không gian tôpô X là T1-không gian khi và chỉ khi mỗi tập
con một điểm là đóng.
Chúng ta giới thiệu một số khái niệm về phủ.
Cho không gian tôpô X, P là một phủ của X. Ký hiệu P
<w
là họ tất
cả các tập con hữu hạn của P. Ta có các định nghĩa sau.4
1.4 Định nghĩa. P được gọi là một lưới nếu với bất kỳ U mở trong X,
x ∈ U thì tồn tại F ∈ P
<w
sao cho x ∈ ∪ F ⊂ U.
1.5 Định nghĩa. Giả sử phủ P của không gian tôpô X được xác định
bởi P = ∪{Px : x ∈ X} trong đó mỗi Px là họ các tập con chứa x của X
sao cho
i) Mỗi Px đều là một lưới tại x, nghĩa là với mọi lân cận U của x đều
tồn tại P ∈ Px mà P ⊂ U.
ii) Nếu P1, P2 ∈ Px thì đều tồn tại P3 ∈ Px mà P3 ⊂ P1 ∩ P2.
Phủ P được gọi là một sn-lưới của X nếu mỗi P ∈ Px là một lân cận
dãy của x.
Phủ P được gọi là một cơ sở yếu của X nếu mỗi tập con G của X là
tập mở khi và chỉ khi với mỗi x ∈ G luôn tồn tại P ∈ Px mà P ⊂ G.
1.6 Định nghĩa. Tập con P của không gian tôpô X được gọi là một lân
cận dãy của x trong X nếu với mọi dãy {xn} hội tụ về x thì luôn tồn tại
n0 sao cho xn ∈ P với mọi n ≥ n0.
1.7 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là không gian dãy nếu
thoả mãn: mỗi tập con A của X là đóng khi và chỉ khi không có dãy {xn}
trong A hội tụ về điểm x không thuộc A.
Không gian tôpô X được gọi là không gian Frechet nếu với mỗi tập
con A của X và mọi phần tử x ∈ A luôn tìm được dãy {xn} trong A hội
tụ về x.
1.8 Định nghĩa. Cho X là một không gian tôpô. Tập con M của X được
gọi là một cái quạt tại x của X, nếu M có thể biểu diễn dưới dạng:
M = {x} ∪ { ∪ {xnm
: m ∈ N} : n ∈ N},
trong đó {xnm
: m ∈ N}n∈N là vô hạn đếm được dãy rời nhau của X, mà
mỗi dãy đều hội tụ về x.
Tập con C của quạt M tại x được gọi là một đường chéo của M nếu
C có giao với vô hạn dãy của quạt M và đồng thời C là một dãy hội tụ
về một điểm trong quạt M.5
Một quạt mà không có đường chéo nào được gọi là một tập Sw.
Không gian tôpô X được gọi là α4-không gian nếu với mỗi điểm x trong
X, mọi cái quạt tại x đều có đường chéo hội tụ về x.
1.9 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là snf-không gian đếm
được nếu X có một sn-lưới ∪{Px : x ∈ X} trong đó mỗi Px là tập đếm
được.
Không gian tôpô X được gọi là gf-không gian đếm được nếu X có một
cơ sở yếu P = ∪{Px : x ∈ X} trong đó mỗi Px là tập đếm được.
Không gian tôpô X được gọi là A-không gian nếu {An : n ∈ N} là một
dãy giảm với x ∈ An\{x} với mọi n ∈ N thì tìm được Bn ⊂ An sao cho
∪{Bn : n ∈ N} không đóng trong X.