Luận Văn Không gian phân thớ và một vài tính chất

Mục lục
Trang phụ bìa . 1
Lời cảm ơn . 2
Mục lục . 3
Danh sách hình 4
Mở đầu . 5
0.1 Tính cấp thiết, mục tiêu của đề tài . 5
0.1.1 Tính cấp thiết 5
0.1.2 Mục tiêu của đề tài . 5
0.2 Tổng quan tài liệu nghiên cứu 5
0.3 Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên
cứu, nội dung nghiên cứu 6
0.3.1 Các tiếp cận, phương pháp nghiên cứu . 6
0.3.2 Phạm vi và nội dung nghiên cứu 7
Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị 8
1.1 Không gian tôpô và T2 không gian 8
1.2 ánh xạ liên tục trên không gian tôpô 10
1.3 Lý thuyết phạm trù 12
1.4 Đa tạp khả vi . 14
1.5 CW-phức . 18
Chương 2 : Không gian phân thớ và một vài tính chất 20
2.1 Khái niệm không gian phân thớ (phân thớ) và một số ví dụ 20
2.2 Nhát cắt của phân thớ 23
2.3 Cấu xạ của phân thớ . 24
2.4 Tích phân thớ và thớ tích 26
2.5 Sự hạn chế (thu hẹp) của phân thớ, phân thớ cảm sinh 29
2.6 Tính chất địa phương của phân thớ . 35
2.7 Sự mở rộng của nhát cắt . 38
Kết luận 39
Tài liệu tham khảo 40

Mở đầu
0.1 Tính cấp thiết, mục tiêu của đề tài
0.1.1 Tính cấp thiết
Phân thớ vectơ là công cụ quan trọng trong nghiên cứu hình học-tôpô.
Để bước vào nghiên cứu Hình học thì bắt buộc nhà nghiên cứu phải nắm
vững những khái niệm và tính chất của không gian phân thớ và phân thớ
vectơ. Khái niệm không gian phân thớ lần đầu tiên xuất hiện khoảng những
năm 1922 - 1925 trong các công trình của E.Cartan về lí thuyết liên thông
[2]. Những định nghĩa và kết quả đầu tiên về phân thớ được H.Whitney,
H.Hopf và E.Stiefel nghiên cứu trong các công trình của mình trong khoảng
1935 - 1940 [2]. Kể từ đó lí thuyết không gian phân thớ trở thành một
trong những đối tượng nghiên cứu quan trọng của tôpô đại số, và là một
công cụ quan trọng trong nghiên cứu hình học vi phân.
Để tập nghiên cứu và bổ sung các kiến thức ban đầu về chuyên ngành
hình học tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: Không gian phân thớ và một vài
tính chất.
0.1.2 Mục tiêu của đề tài
+ Đề tài trình bày các khái niệm ban đầu về không gian phân thớ, nêu
một số ví dụ về không gian phân thớ.
+ Trình bày cách chứng minh một số tính chất của không gian phân thớ.
0.2 Tổng quan tài liệu nghiên cứu
Khái niệm không gian phân thớ lần đầu tiên xuất hiện khoảng những
năm 1922 - 1925 trong các công trình của E.Cartan về lí thuyết liên thông
[2]. Những định nghĩa và kết quả đầu tiên về phân thớ được H.Whitney,
H.Hopf và E.Stiefel nghiên cứu trong các công trình của mình trong khoảng
1935 - 1940 [2]. Kể từ đó lí thuyết không gian phân thớ trở thành một trong
những đối tượng nghiên cứu quan trọng của tôpô đại số, và là một công cụ
quan trọng trong nghiên cứu hình học vi phân. Năm 1950, Steenrod đã hệ
thống lại các nghiên cứu về phân thớ trong giai đoạn đó [4]. Năm 1955,
Milnor đưa ra cấu trúc chung của phân thớ cho một nhóm tôpô bất kì [4].
Từ 1950-1955, Hirzebruch đã làm sáng tỏ khái niệm lớp đặc trưng của phân
thớ và sử dụng nó để chứng minh định lí Riemann-Roch cho đại số đa tạp
[4]. Vấn đề đó đã được xuất bản trong cuốn Ergebnisse Monograph của
ông ta. Những năm đầu thập kỷ 1960 Grothendieck, Atiyah và Hirzebruch
đã phát triển K -lý thuyết, một lý thuyết đối đồng điều tổng quát được xác
định bởi các lớp ổn định của phân thớ vectơ. Định lí tuần hoàn Bott đã
được chứng minh như một định lí trong K - lý thuyết và Adams đã giải
quyết vấn đề trường vectơ trên quả cầu bằng cách sử dụng K -lý thuyết [4].
0.3 Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu, phạmvi nghiên
cứu, nội dung nghiên cứu
0.3.1 Các tiếp cận, phương pháp nghiên cứu
+ Sưu tầm tài liệu trong và ngoài nước có liên quan đến đề tài ở các thư
viện, mua sách báo ở các nhà xuất bản, các tạp chí trên internet .
+ Nghiên cứu tài liệu, tìm cách trình bày các chứng minh khác các tính
chất đã có hoặc chưa thấy chứng minh ở đâu.
+ Sử dụng các phương pháp nghiên cứu toán học, phương pháp nghiên
cứu lý thuyết.
0.3.2 Phạm vi và nội dung nghiên cứu
+ Trình bày các khái niệm của không gian phân thớ (đề tài chỉ xét phân
thớ tổng quát) và một số tính chất của không gian phân thớ.
+ Trình bày chứng minh khác các tính chất của không gian phân thớ.