Luận Văn Không gian Mêtric Nikodym và tính chất

Khóa luận tốt nghiệp năm 2013
Đề tài: Không gian Mêtric Nikodym và tính chất


Mục lục
Lời mở đầu 3
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN bị 5
1.1 Tập thương và quan hệ tương đương 5
1.2 Không gian mêtric . 6
1.3 Không gian độ đo . 8
1.4 Hàm đo được 10
1.5 Tích phân Lebesgue 11
1.6 Tích phân coi như một hàm tập . 12
1.7 Không gian L[SUP]p[/SUP], 1 < p < +TO . 13
2 KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CHAT 15
2.1 Đạo hàm Radon-Nikodym . 15
2.2 Không gian mêtric Nikodym . 25
Kết luận 42
Tài liệu tham khảo 43


LỜI MỞ ĐẦU
Không gian mêtric và lý thuyết độ đo tích phân là một phần quan trọng trong lý thuyết hàm số biến số thực, chúng cùng với giải tích hàm làm nền tảng cho kiến thức toán học của sinh viên. Trong chương trình học ở đại học, học phần không gian mêtric-không gian Tôpô được học ở học kì hai của năm thứ hai, học phần lí thuyết độ đo và tích phân được học ở học kì một năm thứ ba. Đây là những học phần không thể thiếu đối với sinh viên ngành toán ở bậc đại học, các học phần này giúp chúng em làm quen và nắm được khái niệm, tính chất của không gian mêtric, không gian độ đo và lí thuyết tích phân .Đặc biệt là không gian mêtric có những tính chất thú vị, gần gũi với hình học. Khóa luận này đi sâu nghiên cứu về một trường hợp đặc biệt của không mêtric, đó là không gian mêtric Nikodym.
Không gian mêtric Nikodym được xây dựng dựa trên một không gian độ đo hữu hạn và nó có một số tính chất khá thú vị, có mối liên hệ chặt chẽ với không gian độ đo. Nội dung của khóa luận đề cập đến khái niệm không gian mêtric Nikodym, các tính chất của không gian này đồng thời chỉ ra mối liên hệ giữa nó với không gian L[SUP]p[/SUP], 1 < p < X.
Nội dung nghiên cứu của em là dựa trên cuốn sách [7], trong đó các khái niệm, kết quả được nghiên cứu và trình bày lại một cách rõ ràng và đầy đủ hơn. Tuy không phải là những kết quả mới được tìm thấy, nhưng với tinh thần tìm tòi học hỏi kiến thức mới, hy vọng đề tài này sẽ đem lại nhiều kiến thức bổ ích cho bản thân và nhiều thú vị cho độc giả. Nội dung khóa luận gồm hai chương:
Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương II: Không gian mêtric Nikodym và tính chất.
Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bản thân nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự quan tâm góp ý của thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUAN BỊ
1.1 Tập thương và quan hệ tương đương
Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một quan hệ hai ngôi trong A. Khi đó:
i. R được gọi là phản xạ nếu
Vx<eA, xRx.
ii. R được gọi là đối xứng nếu
Vx,y<EA, xRy ^ yRx.
iii. R được gọi là bắc cầu nếu
Vx, y, zeA, xRy và yRz ^ xRz.
Định nghĩa 1.1.2. Một quan hệ hai ngôi R trong A được gọi là quan hệ tương đương nếu R thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Quan hệ tương đương được ký hiệu là ~.
Định nghĩa 1.1.3. Cho ~ là một quan hệ tương đương trong X và x EX. Khi đó:
i. Tập hợp x={ y<EX | y^x} được gọi là lớp tương đương của x theo quan hệ
ii. Tập hợp X/^ = { x | x<EX} được gọi là tập hợp thương của X trên quan hệ tương đương ~.
1.2 Không gian mêtric
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là một tập bất kỳ khác trống. Ta gọi hàm số d: XxX ^ R là một mêtric (hay khoảng cách) trên X nếu hàm số này thỏa mãn ba tiên đề sau đây:
1. d(x,y) > 0, Vx,y<EX ; d(x,y) = 0 khi và chỉ khi x = y,
2. d(x,y) = d(y,x) ( tính đối xứng ),
3. d(x,z) < d(x,y) + d(y,z), Vx,y,zeX ( bất đẳng thức tam giác ). Khi đó tập X cùng với mêtric d đã cho được gọi là một không gian mêtric và kí hiệu là (X, d).
Định nghĩa 1.2.2. Không gian mêtric X được gọi là tách được nếu có một tập con hữu hạn hay đếm được A c X trù mật khắp nơi.
Mệnh đề 1.2.3. ([7]. MĐ 26, tr 204). Không gian con của một không gian mêtric tách được là tách được.
Định nghĩa 1.2.4. Tập A c X được gọi là compact nếu với mọi dãy (x[SUB]n[/SUB])[SUB]n[/SUB] c A đều tồn tại một dãy con (x[SUB]n[/SUB][SUB]k[/SUB])[SUB]k[/SUB] c (x[SUB]n[/SUB])[SUB]n[/SUB] hội tụ về một điểm x[SUB]0[/SUB] E A. Nếu X là tập compact thì ta nói X là không gian compact.
Định nghĩa 1.2.5. Định nghĩa không gian mêtric đầy đủ.
1. Dãy (x[SUB]n[/SUB])[SUB]n[/SUB] trong không gian mêtric X được gọi là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu lim d(x[SUB]m[/SUB], x[SUB]n[/SUB]) = 0. Nói cách khác (x[SUB]n[/SUB])[SUB]n[/SUB] là dãy cơ bản khi và
m,n^ũ




Tài liệu tham khảo
[1] Nguyên Định, Nguyên Hoàng, hàm số biến số thực, NXB Giáo Dục. 1999.
[2] Nguyên Hoàng, Lê Văn Hạp, Giáo trình giải tích hàm, NXB Giáo Dục. 1998.
[3] Lương Hà, giáo trình lí thuyết độ đo và tích phân, NXB Giáo Dục. 1998.
[4] Trương Văn Thương, giáo trình giải tích hàm 1, NXB Giáo Dục. 2011.
[5] Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Applica­tions, John Wiley and Sons, New York. 1999.
[6] Paul R.Halmos, Measure Theory, Van Nostrand. 1950.
[7] H.L.R. Royden, P.M. Fitzpatrick, Real Analysis, Pearson. 2010.
[8] Winfried Just, Handout 3 Compactness of Nikodym spaces and sub­spaces of l[SUP]p[/SUP], MATH. 2012.
[9] J. Yeh,Real Analysis: Theory of Measure And Integration, World Sci­entific Publishing Company, Incorporated. 2006.