Luận Văn Không Gian LP Và Các Ứng Dụng Của Định Lý Hội Tụ Đơn Điệu Và Định Lý Hội Tụ Bị Chặn

Dựa vào tính chất hình học của không gian ¡ k , người ta đã xây dựng
lý thuyết tích phân Lebesgue cho không gian ¡ k mà không dựa trên lý
thuyết độ đo. Lý thuyết tích phân được xây dựng theo lối như vậy được trình
bày ở tài liệu Lý Thuyết Tích Phân của Giáo Sư ĐẶNG ĐÌNH ÁNG. Trên
cơ sở đó, đề tài này khảo sát các tính chất của các không gian Lp (Ω).
Đã có nhiều tài liệu trình bày về không gian Lp (Ω) nhưng hầu hết
các tài liệu trình bày dựa trên lý thuyết độ đo. Ở đề tài này, trong chứng
minh các tính chất của không gian Lp (Ω) ta chủ yếu dựa vào định lý hội tụ
đơn điệu và định lý hội tụ bị chận mà không dựa trên lý thuyết độ đo, hai
định lý biểu diễn Riesz cho không gian Lp (Ω) cũng được chứng minh
không dựa trên lý thuyết độ đo. Đây là điểm khác biệt của đề tài này so với
các tài liệu khác đã trình bày.
Nội dung của đề tài gồm năm phần: Trong phần thứ nhất trình bày các
kiến thức chuẩn bị. Phần thứ hai trình bày định nghĩa và các tính chất của
không gian Lp (Ω), ở đây ta chứng minh các bất đẳng thức , bất
đẳng thức Minkowski và tính đầy đủ của không gian
H&o&lder
Lp (Ω). Phần thứ ba
trình bày về tính trù mật và tách được của không gian , ta chứng
minh được tập các hàm bậc thang, tập các hàm bậc thang có giá compact
chứa trong Ω và tập
Lp (Ω)
( c C ∞ Ω) trù mật trong Lp (Ω), với 1 p . Phần
thứ tư trình bày về các tập compact tương đối trong
≤ < ∞
Lp (Ω), kết quả chính
của phần này là định lý IV.1, định lý IV.2, hai định lý này chỉ ra điều kiện để
tập con trong là compact tương đối. Phần cuối cùng ta trình bày về
tính lồi đều và đối ngẫu của không gian
Lp (Ω)
Lp (Ω), các kết quả chính trong
phần này là bất đẳng thức Clarkson, định lý biểu diễn Riesz cho , với
, và định lý biểu diễn Riesz cho
Lp (Ω)
1< p < ∞ L1 (Ω).