Thạc Sĩ Không gian Atsuji (Bản 2)

Đề tài: Không gian Atsuji (Bản 2)
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS. Nguyễn Hà Thanh. Thầy đã tận tình
hướng dẫn, trang bị nhiều tài liệu và truyền đạt cho tôi những kiến thức quí báu trong suốt quá
trình thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn quí thầy cô đã giảng dạy chúng tôi trong suốt thời gian
học tập. Xin cảm ơn quí thầy cô phòng Khoa học Công Nghệ và Sau Đại học đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn.
Trong quá trình thực hiện luận văn, chúng tôi đã liên hệ với giáo sư Tanvi Jain, Khoa
toán - Học viện khoa học kỹ thuật Indian - Delhi, tác giả những bài báo mà chúng tôi trực tiếp
dùng để nghiên cứu về đề tài “Không gian Atsuji”, giáo sư Tanvi đã cung cấp cho chúng tôi
một số tài liệu bổ ích và tận tình giải đáp thắc mắc về các vấn đề liên quan. Xin chân thành cảm
ơn giáo sư Tanvi Jain. Tôi cũng xin cảm ơn giáo sư Lubica Hola, Viện khoa học - Toán học
Stefánikova – Slovakia, đã cung cấp cho tôi những tài liệu liên quan về không gian Atsuji bị
chặn.
Xin chân thành cảm ơn những người thân trong gia đình luôn động viên và tạo mọi điều
kiện cho tôi hoàn thành luận văn này.
Sau cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn đến các bạn cùng lớp đã cùng học tập, trao đổi kiến thức
và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2009
Tác giả
Phan Hồng Hải MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khái niệm liên tục và liên tục đều của hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của
giải tích cổ điển cũng như giải tích hiện đại. Khái niệm liên tục đều được giới thiệu đầu tiên cho
các hàm số trên không gian Euclide bởi Eduard Heine vào năm 1870. Trong giải tích, chúng ta
biết rằng mọi hàm liên tục từ một không gian mêtric compact vào một không gian mêtric bất kỳ
thì liên tục đều. Nhưng tính compact thật sự không cần thiết bởi vì mọi hàm số liên tục từ một
không gian mêtric rời rạc ( , ) X d vào một không gian mêtric bất kỳ thì liên tục đều, với d là
mêtric cho bởi:
1 ,
( , ) ; ,
0 ,
x y
d x y x y X
x y
 
   
 
Vấn đề chúng tôi muốn nêu ra ở đây là không gian mêtric ( , ) X d phải thỏa điều kiện gì để
một hàm số liên tục trên không gian mêtric ( , ) X d là liên tục đều.
Những không gian mêtric như thế có lẽ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Juniti Nagata
vào khoảng năm 1950 trong “On the uniform topology of bicompactifications”. Năm 1951,
A.A. Monteiro và M.M. Peixoto đưa ra 4 điều kiện tương đương của không gian mêtric loại
này. Đặc biệt, họ đã chứng minh được rằng mọi hàm số liên tục trên không gian mêtric ( , ) X d là
liên tục đều khi và chỉ khi mọi phủ mở của X có một số Lebesgue. Vì vậy, các không gian như
thế, lúc bấy giờ, được gọi là không gian Lebesgue. Năm 1958, một vài điều kiện tương đương
mới cho không gian loại này được đưa ra bởi Masahiko Atsuji. Trong bài báo “Metric spaces
on which continuous and Hausdorff distance”,(1985), Gerald Beer gọi những không gian này là
không gian Atsuji. Từ đây các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu về không gian loại này và đưa
thêm điều kiện để một không gian mêtric trở thành không gian Atsuji. Như trong “On normal
metrics”, Amer. Math. Monthy 72 (1965), tác giả S.G. Mrowka đã chứng minh rằng mọi hàm
thực liên tục trên không gian mêtric ( , ) X d là liên tục đều nếu và chỉ nếu với bất kỳ hai tập con
đóng khác rỗng A B, rời nhau của X thì d A B ( , ) 0  .
Năm 2006, S. Kundu và Tainvi Jain đã trình bày, hệ thống lại 25 điều kiện tương đương
để một không gian mêtric trở thành không gian Atsuji. Năm 2007, S. Kundu và Tainvi Jain lại
tiếp tục trình bày về một lớp không gian mới liên quan đến không gian Atsuji. Đó là không gian
Atsuji bị chặn hay không gian UC bị chặn. Hai ông cũng đã đưa ra một vấn đề thú vị, đó là tính
bảo toàn của không gian Atsuji và không gian Atsuji bị chặn qua phép đồng phôi. Như vậy, việc nghiên cứu về không gian Atsuji và không gian Atsuji bị chặn là một trong
những đề tài thu hút nhiều sự chú ý của các nhà toán học. Chính vì tính chất thời sự của vấn đề
nên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu là trình bày lại một cách hệ thống về không
gian Atsuji, không gian Atsuji bị chặn. Đề tài của chúng tôi có tên là “Không gian Atsuji”.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu kĩ hơn về không gian Atsuji. Trình bày một cách đầy đủ các điều kiện tương
đương cho một không gian Atsuji, không gian Atsuji bị chặn và tính bảo toàn của loại không
gian này qua phép đồng phôi.
3. Đối tượng nghiên cứu
Không gian mêtric.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Đây là cơ sở để nghiên cứu sâu hơn về không gian Atsuji, đó là: sự mở rộng Atsuji của
một không gian mêtric, sự mở rộng Atsuji trên siêu không gian tôpô,
5. Cấu trúc luận văn
Về nội dung, đề tài sẽ bao gồm: lời mở đầu, 3 chương và phần kết luận.
1. Lời mở đầu: Nêu xuất xứ đề tài, giới hạn phạm vi và phương pháp nghiên cứu đề tài.
2. Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về tôpô đại cương. Gồm các vấn đề về
không gian mêtric, không gian mêtric đầy đủ, không gian mêtric compact, không gian chuẩn
tắc, không gian đều, hàm số liên tục và liên tục đều, .
3. Chương 2: Trình bày về không gian Atsuji và không gian Atsuji bị chặn.
4. Chương 3: Trình bày về sự bảo toàn của không gian Atsuji và không gian Atsuji bị chặn
qua phép đồng phôi.
5. Phần kết luận: Nêu nhận xét về các vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu mở rộng.
Các kí hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các kí hiệu thông dụng hoặc sẽ
được giải thích khi dùng lần đầu. Để trích dẫn một kết quả chúng tôi dùng cách trích dẫn quen
thuộc, chẳng hạn, xem [9, theorem 1, p. 92] nghĩa là xem định lý 1 trong tài liệu số 9
(trong Tài liệu tham khảo), trang 92.Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian mêtric và dãy hội tụ trong không gian mêtric
1.1.1. Không gian mêtric
1.1.1.1. Định nghĩa
Cho X là một tập. Một hàm
2
d X:   là một mêtric trên X nếu thoả mãn các điều kiện
sau:
1) d x y x y X ( , ) 0, ,   
d x y x y ( , ) 0    (tiên đề đồng nhất)
2) d x y d y x x y X ( , ) ( , ), ,    (tiên đề đối xứng)
3) d x z d x y d y z x y z X ( , ) ( , ) ( , ), , ,     (tiên đề tam giác)
Tập hợp X cùng với mêtric d trên X được gọi là không gian mêtric ( , ) X d .
Nếu ( , ) X d là không gian mêtric thì mỗi x X  gọi là một điểm. Với mọi x y X ,  ta gọi
d x y ( , ) là khoảng cách giữa x và y .
1.1.1.2. Ví dụ
a) Tập hợp các số thực  và tập hợp các số phức  là những không gian mêtric với
mêtric
d x y x y x y ( , ) ; ,    (hoặc ).
b) Không gian Euclide
k
 là không gian mêtric với mêtric d xác định như sau:
Nếu
1 2 1 2
( , , ., ), ( , , ., )
k k
x x x x y y y y   là hai phần tử thuộc
k
 thì
1
2
2
1
( , ) ( )
k
i i
i
d x y x y

  
Rõ ràng:
 ( , ) 0, ,
k
d x y x y    và d x y x y ( , ) 0   
 d x y d y x x y X ( , ) ( , ), ,   
Ta kiểm tra tiên đề tam giác.
Với
1 2 1 2 1 2
( , , ., ), ( , , ., ), ( , , ., )
k k k
x x x x y y y y z z z z    là các phần tử thuộc
k
 . Sử dụng bất
đẳng thức Cauchy – Schwartz ta có: 2
2 2
1 1
2 2
1 1 1
1 1
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
1
2 2
2
1
( , ) ( )
= 2 .
2( ) .( )
) ( )
k k
i i i i i i
i i
k k k
i i i i i i i i
i i i
k k k k
i i i i i i i i
i i i i
k
i i i i
i
d x z x z x y y z
x y x y y z y z
x y x y y z y z
x y y z
 
  
   

     
     
      
  
 
  
   

1
2 2
1
2
)
=( ( , ) ( , ))
k
i
d x y d y z



Suy ra
d x z d x y d y z x y z X ( , ) ( , ) ( , ), , ,    
Vậy d thật sự là một mêtric trên
k
 .
* Mêtric d được gọi là mêtric Euclide trên
k
 .
c) Cho X là một tập bất kỳ, với mọi x y X ,  , đặt
1 ,
( , )
0 ,
x y
d x y
x y
 
 
 
là một mêtric trên X , ta gọi là mêtric rời rạc trên X .
Hiển nhiên d thoả mãn điều kiện 1), 2) của định nghĩa mêtric. Ta kiểm tra điều kiện 3).
Với mọi x y z X , ,  , nếu x z  thì hiển nhiên d x z d x y d y z ( , ) ( , ) ( , )  
Nếu x z  thì y x  hoặc y z  nên ta cũng có d x z d x y d y z ( , ) ( , ) ( , )   .
Vậy d là một mêtric trên X , ta gọi là mêtric rời rạc trên X .
1.1.1.3. Không gian mêtric con
Cho ( , ) X d là một không gian mêtric và A là một tập con của X . Với mọi x y A ,  ta đặt
( , ) ( , )
A
d x y d x y  . Khi đó
A
d là một mêtric trên A ; mêtric
A
d được gọi là mêtric cảm sinh của
mêtric d trên A .
Tập A cùng với mêtric
A
d được gọi là không gian mêtric con của không gian mêtric
( , ) X d .
1.1.2. Dãy hội tụ
1.1.2.1. Định nghĩa
Cho (X,d) là một không gian mêtric. Dãy { }
n
x những phần tử trong (X,d) được gọi là hội
tụ đến phần tử
0
x của X nếu
0
lim ( , ) 0
n
d x x 
Kí hiệu:
0
lim n
n
x x

 hoặc
0
lim n
x x  hoặc
n 0
x x 
Nếu
0
lim n
x x  thì
0
x được gọi là giới hạn của dãy { }
n
x . Nếu
n 0
x x  thì mọi dãy con { }
nk
x
của { }
n
x cũng hội tụ
0
x . Nếu { }
n
x không hội tụ đến
0
x thì ta ghi
n
x  0
x .
1.1.2.2. Ví dụ
a) Sự hội tụ trên đường thẳng thực là sự hội tụ của dãy số theo nghĩa thông thường của
giải tích cổ điển, nghĩa là
0 0
lim lim 0
n n
x x x x    
b) Trong không gian
k
 , giả sử cho dãy { }
n
x ,
( ) ( ) ( ) (0) (0) (0)
1 2 0 1 2
( , , ., ), ( , , ., )
n n n
n k k
x x x x x x x x   , ta
có
1
2
2
0
1
( ) (0)
lim lim( ) 0
lim , 1,
k
n i i
i
n
i i
x x x y
x x i n

   
  

Vì vậy, người ta nói sự hội tụ trong
k
 là sự hội tụ theo toạ độ.
1.2. Tập mở. Tập đóng
1.2.1. Tập mở
1.2.1.1. Hình cầu mở
Giả sử ( , ) X d là một không gian mêtric,
0
x X  và r là một số dương.
Tập hợp
0 0 B x r x X d x x r ( , ) { / ( , ) }    gọi là hình cầu mở tâm
0
x bán kính r hay r - lân
cận của
0
x .
1.2.1.2. Tập mở
Cho ( , ) X d là một không gian mêtric và tập A chứa trong X. Tập A được gọi là mở nếu
với mọi x A  đều tồn tại r  0 sao cho B x r A ( , )  .
Nhận xét: Hình cầu mở là tập mở.
1.2.1.3. Định lý 1.1
Trong họ các tập con của không gian mêtric X, ta có:
a) X, là tập mở.
b) Hợp tuỳ ý các tập mở là mở.
c) Giao hữu hạn tập mở là mở.
1.2.1.4. Phần trong của một tập hợp
Giả sử A là tập con của không gian mêtric X. Hợp tất cả các tập mở chứa trong A được
gọi là phần trong của tập A.
Kí hiệu: IntA hoặc
0
A
Phần trong của một tập hợp có thể là tập rỗng. Theo định nghĩa ta có kết quả sau:
1) Phần trong của tập A là tập mở lớn nhất chứa trong A.
2) A là mở  IntA A 3) Nếu A B  thì IntA IntB 
1.2.2. Tập hợp đóng
1.2.2.1. Định nghĩa tập đóng
Tập hợp con A của không gian mêtric ( , ) X d được gọi là tập đóng nếu phần bù \
A C  X A
là tập mở.
1.2.2.2. Định lý 1.2
Trong họ các tập con của không gian mêtric X, ta có:
a) X, là tập đóng.
b) Giao tùy ý các tập đóng là đóng.
c) Hợp hữu hạn các tập đóng là tập đóng.
1.2.2.3. Định lý 1.3
Tập hợp con F của một không gian mêtric X là đóng khi và chỉ khi với mọi dãy bất kỳ
{ }
n
x các phần tử của F nếu
0
lim n
x x X   thì
0
x F 
Chứng minh:
( )  Giả sử F là đóng,{ }
n
x F  ,
0
lim n
x x  và
0
x F  . Vì X\F là tập mở nên tồn tại hình cầu
mở
0 B x X F ( , ) \   .
Lại vì
0
lim n
x x  nên với mọi   0 tồn tại
0
n  sao cho
0
( , )
n
d x x   với mọi
0
n n  . Từ
đó suy ra với n đủ lớn thì
0
( , ) \
n
x B x X F    . Điều này mâu thuẫn với giả thiết { }
n
x F  .
Vậy
0
x F  .
( )  Giả sử với một dãy bất kỳ { }
n
x F  nếu
0
lim n
x x X   thì
0
x F  . Ta chứng minh F
đóng. Giả sử F không đóng, khi đó X\F không là tập mở. Do đó, tồn tại ít nhất một điểm
0
x X F  \ sao cho với mọi n ,
0
1
B x( , )
n
không chứa trong X\F. Ta chọn được dãy { }
n
x F  và
0
lim n
x x F   . Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy F đóng.
1.2.2.4. Bao đóng của một tập hợp
Định nghĩa
Giả sử A là tập con của một không gian mêtric X. Giao của tất cả các tập hợp đóng chứa
A được gọi là bao đóng của tập hợp A.
Kí hiệu: ClA hoặc A .
Vì X chứa A nên bao đóng của một tập hợp luôn tồn tại. Ta cũng có: 1) A là tập đóng nhỏ nhất chứa A.
2) A đóng  A A  .
3) Nếu A B  thì A B  .
Định lý 1.4
Cho ( , ) X d là một không gian mêtric, A X  và a X  . Khi đó các khẳng định sau là
tương đương.
1) a A 
2) B a A ( , ) , 0       
3) Tồn tại dãy { }
n
x A  và
n
x a 
Chứng minh:
1) 2) :  Giả sử tồn tại
0
  0 sao cho
0 B a A ( , )     thì
0 X B a \ ( , )  là tập đóng chứa A
nhưng không chứa a, suy ra a A  . Ta gặp mâu thuẫn. Vậy có 2).
2) 3) :  Với mọi n ta có
1
B a A ( , )
n
   , chọn
1
( , )
n
x B a A
n
  . Ta thu được dãy
{ }
n
x A  và
1
( , )
n
d x a
n
 . Suy ra lim n
x a  .
3) 1) :  Giả sử có dãy { }
n
x A  và lim n
x a  nhưng a A  . Khi đó a X A  \ là tập mở nên
tồn tại   0 sao cho B a X A ( , ) \   . Vậy ( , )
n
x B a   với mọi n và ( , )
n
d x a   . Mâu thuẫn với
giả thiết lim n
x a  . Vậy a A  .
1.3. Ánh xạ liên tục. Phép đồng phôi
1.3.1. Ánh xạ liên tục
1.3.1.1. Định nghĩa
Cho hai không gian mêtric ( , ) X d và ( , ) Y  . Một ánh xạ f X Y :  được gọi là liên tục tại
0
x X  nếu với mọi   0 tồn tại   0 sao cho với mọi x X  ,
0
d x x ( , )   thì
0   ( ( ), ( )) f x f x  .
Như vậy, f liên tục tại
0
x nếu với mọi   0 tồn tại   0 sao cho
0 0
f B x B f x ( ( , )) ( ( ), )   
hay một cách tương đương
1
0 0
f B f x B x ( ( ( ), )) ( , )  

 .
Ánh xạ f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x X  .
1.3.1.2. Ánh xạ liên tục đều
Một ánh xạ f X Y :  được gọi là liên tục đều trên X nếu với mọi   0 tồn tại   0 sao
cho với mọi
1 2
x x X ,  ,
1 2
d x x ( , )   thì
1 2   ( ( ), ( )) f x f x  .
Như vậy, một ánh xạ liên tục đều thì liên tục còn ngược lại nói chung không đúng. Định lý 1.5
Ánh xạ f X Y :  liên tục tại x X  nếu và chỉ nếu mọi dãy { } ,lim n n
x x x   đều có
lim ( ) ( )
n
f x f x  .
Định lý 1.6
Cho ánh xạ f X Y :  . Các điều kiện sau là tương đương.
a) f liên tục trên X.
b)
1
f G( )

là tập mở của X, với mọi tập mở G của Y.
c)
1
f F( )

là tập đóng của X, với mọi tập đóng F của Y.
Định lý 1.7
Cho X Y Z , , là ba không gian mêtric. Các ánh xạ f X Y :  , g Y Z :  là liên tục. Khi đó
g f X Z  :  là liên tục.
1.3.2. Đường
Cho (X,d) là một không gian mêtric. Một hàm số liên tục f X : 0;1    sao cho f f (0) (1) 
gọi là một đường trong X. Khi đó, ta nói không gian (X,d) chứa một đường.
1.3.3. Phép đồng phôi
Cho X, Y là hai không gian mêtric, ánh xạ f X Y :  là song ánh. f được gọi là phép
đồng phôi nếu f và
1
f

liên tục.
Hai không gian mêtric được gọi là đồng phôi với nhau nếu tồn tại phép đồng phôi
f X Y :  .
Hai mêtric d và  trên X được gọi là tương đương với nhau nếu ánh xạ đồng nhất
: ( , ) ( , )
X
I X d Y   là phép đồng phôi.
Nếu d và  là hai mêtric tương đương với nhau thì :
1) Tập con A là mở trong ( , ) X d  A là mở trong ( , ) Y  .
2) { }
n
x là hội tụ trong ( , ) X d  { }
n
x là hội tụ trong ( , ) Y  .
1.4. Không gian mêtric đầy đủ
Dãy cơ bản hay dãy Cô-si (Cauchy)
Cho (X,d) là một không gian mêtric. Một dãy { }
n
x trong X được gọi là dãy cơ bản hay
dãy Cô–si nếu với mọi   0 tồn tại
0
n  sao cho với
0
n m n ,  thì ( , )
n m
d x x   .
Dãy giả Cô-si: