Thạc Sĩ Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và ứng dụng

Luận văn thạc sĩ năm 2012
Đề tài: Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và ứng dụng

Mục lục
Mở đầu 3
Chương 1. MỘT SỐ KIEN thức CHưẲN bị . 6
1.1. Số phức và mặt phẳng phức 6
1.1.1. Khái niệm và một số tính chất cơ bản 6
1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức 7
1.1.3. Các tập hợp trong mặt phăng phức 8
1.2. Hàm biến phức 9
1.2.1. Hàm liên tục . 9
1.2.2. Hàm chỉnh hình 10
1.2.3. Chuổi lũy thừa 15
1.2.4. Tích phân phức 18
1.3. Khai triển tiệm cận . 21
1.3.1. Một số khái niệm bậc 21
1.3.2. Dãy tiệm cận 24
1.3.3. Định nghĩa của Poincarés về khai triển tiệm cận 25
1.3.4. Chuổi lũy thừa tiệm cận . 27
1.3.5. Tính chất của kliai triển tiệm cận 34
Chương 2. HÀM SINH BỠI CHUỖI VÔ HẠN 39
2.1. Lý thuyết cơ bản về phân hoạch . 39
2.1.1. Một số kliái niệm và ví dụ 39
2.1.2. Các hàm sinh bỏi tích vô hạn một biến 42
2.1.3. Biểu diễn đồ thị của các phân hoạch 46
2.2. Các hàm sinh bởi chuỗi vô hạn . 49
2.3. ứng dụng của phân hoạch . 57
Chương 3. TIỆM CẬN CỦA HÀM SINH BỞI TÍCH VÔ HẠN 62
3.1. Biến đổi Mellin . 62
3.1.1. Định nghĩa 62
3.1.2. Ví dụ 63
3.2. Định lý của Meinardus . 65
3.3. Các ling dụng của định lý 3.1 . 75
Kết luận 76
Tài liệu tham khảo 77

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết phân hoạch có lịch sử khá lâu trong những thời kỳ hình thành của lý thuyết số Toán học. Tuy nhiên, những phát hiện mang tính chất đột phá diễn ra ở thế kỷ XVIII, xuất phát từ những công trình nghiên cứu của nhà toán học vĩ đại Leonard Euler. Ngay sau thời kỳ đó lý thuyết phân hoạch đã được nhiều nhà toán khác góp sức nghiên cứu và phát triển. Chúng ta có thể kể ra ở đây để minh chứng cho vấn đề đã nêu qua các công trình nghiên cứu của các nhà toán học nổi tiếng Cayle, Gauss, Jacobi, Lagrange, Legendre, Littllewood, Rademacher, Ramanu­jan, Schur và Sylvester Lý thuyết phân hoạch có nhiều áp dụng trong những vấn đề lớn của toán học, đáng kể ở (lây ta có thể nói đến bài toán kinh điển về phân tích số nguyên dưới dạng tổng các bình phương, định lý số nguyên tố, tổng các số nguyên khác, .
Cùng với sự phát triển trên đây của lĩnh vực lý thu vết số. một hướng nghiên cứu cũng được hình thành từ khá sớm là lý thuyết giải tích tiệm cận. Trong giải tích toán học nhiều chuỗi số ta có thể chứng minh hội tụ của nó một cách đơn giản, tuy nhiên để tính tổng của nó thì không hề đơn giản. Giải tích tiệm cận và một phần trong lĩnh vực là lý thuyết chuỗi tiệm cận. ơ đây, ngoài việc quan tâm đến việc tính tổng của các chuỗi số hội tụ, trong lý thuyết số các nhà toán học còn nghiên cứu đến chuỗi phân kỳ có thể được sử dụng cho sự tính toán giá trị của một đại luợng mà theo nghĩa nào đó có thể được xem như là "tổng" của chuỗi. Trường hợp điển hình là đối với chuỗi hàm, bằng sự xấp xỉ bởi một số hạng đầu tiên của chuỗi thực sự mang đến hiệu quả mong muốn. Trong hầu hết các trường hợp các số hạng đầu tiên của chuỗi giảm nhanh (khi biến độc lập tiến nhanh tới giá trị giới hạn của nó), nhung những số hạng bắt đầu tăng trở lại. Một trong các hướng nghiên cứu vấn đề này được gọi là lý thuyêt chuỗi tiệm cận. Việc nghiên cứu sự xấp xỉ tiệm cận của các hàm sinh bởi phân hoạch của số nguyên là một hướng thu hút sự chú ý của các nhà Toán học. Dể hoàn thành luận văn đào tạo Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích và được sự định hướng của người hướng dẫn em chọn đề tài "Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và ứng dụng".
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về lý thuyết phân hoạch, lý thuyết tiệm cận.
Vấn đề khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một cách cụ thể về một số khái niệm, tính chất của phân hoạch.
Khai triển tiệm cận của hàm sinh hỡi phân hoạch số nguyên và một số ứng dụng của nó.
4. Dối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phân hoạch số nguyên.
Vấn đề khai triển tiện cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên.
5. Phương pháp nghiên cứu
Dọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Trình bày về lý thuyết phân hoạch số nguyên, lý thuyết tiệm cận. Nghiên cứu một cách có hệ thống về khai triẻn tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và một số áp dụng.

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUAN bị
1.1. SỐ phức và mặt phẳng phức
1.1.1. Khái niệm và một số tính chất cơ bản
Số phức là số có dạng z = X + iy; X, y 6 R và i là đơn vị ảo mà i[SUP]2[/SUP] — —1. Ta gọi X là phần thục và y là phần ảo, kí hiệu
X = Rez, y = Imz.
Tập hợp các số phức được kí hiệu bỏi c. Tầp hợp các số phức được đồng nhất vổi mật phăng K[SUP]2[/SUP] bỏi phép tương ứng
c —»R[SUP]2[/SUP]
z = x + iy>-+ (x, y).
Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thục, Oy là trục ảo. Phép cộng và nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i[SUP]2[/SUP] = — 1. Ta có
Zi + Z2 = (xi + x[SUB]2[/SUB]) + i(yi + y[SUB]2[/SUB])
Z1.Z2 = (Xi + iyi)(x[SUB]2[/SUB] + iy[SUB]2[/SUB]) = X1X2 + ixiy[SUB]2[/SUB] + iyix[SUB]2[/SUB] + i[SUP]2[/SUP]yiy2 = (X1X2 - ym) + i{xItf2 + yix[SUB]2[/SUB]).

Với mỗi số phức z = X + iy, ta xác định modul của số phức 2 là
\z\ = \/x[SUP]2[/SUP] + y[SUP]2[/SUP].
SỐ phức liên hợp của số phức 2: = X + iy được kí hiệu là z = X — ỉy. Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được
z Z z — Z
Rez = -4—: ỉmz = ——
2 ’ 2 ỉ
\z\[SUP]2[/SUP] = z.z; - = vối z í 0.
[SUP]2[/SUP] kl
SỐ phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.e[SUP]w[/SUP] với r > 0, 0 € R được gọi là argument của số phức z (argument của số phức z được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội số của 2tt) và
e[SUP]iở[/SUP] = COS ớ + 2 sin ớ.
Bơi vì e[SUP]iớ[/SUP]| = 1, nên r = \z\ và ớ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối cùng, ta lưu ý rằng z = r.e[SUP]iờ[/SUP] và IV = s.e[SUP]iự>[/SUP] thì
Z.W = r.s.e^[SUP]ờ+ự>[/SUP]\
1.1.2. Sự hội tụ của dảy số phức
Dãy số phức {z[SUB]n[/SUB]} được gọi là hội tụ đến số phức w € c và viết là w — lim z[SUB]n[/SUB] ^ lim Iz[SUB]n[/SUB] — wI = 0.
n-> oc n—>00
Dễ dàng kiểm tra rằng


Tài liệu tham khảo
[1] L. V. Ahlíor (1979), Complex analysis, New York, third edition.
[2] George E. Andrews (1796), The theory of partitions. Addison - Wes­ley Publishing Company.
[3] I. Avramidi (2000), Lecture Notes on Asymptotic Expansion. New Mexico Institute of Mining and Technology.
[4] H. S. w. Philadelphi, PA (2000). Lectures on Integer Partitions. University of Pennsylvania.