Thạc Sĩ Khái niệm hàm số Logarit trong trường Trung học phổ thông (THPT)

Đề tài: Khái niệm hàm số Logarit trong trường Trung học phổ thông (THPT)
TABLE DES MATIÈRES
Page de titre
Remerciements
Table des matières .1
Liste des abréviations 3
Liste des tableaux 4
INTRODUCTION .5
Chapitre 1. CONCEPT DU LOGARITHME ET DE LA FONCTION
LOGARITHMIQUE AU NIVEAU DE SAVOIR SAVANT .12
1.1. Historique 12
1.2. Caractéristiques du concept du Logarithme et de la Fonction
logarithmique dans quelque manuels universitaires .14
1.2.1 Logarithme et Fonction logarithmique dans le manuel [a] .15
1.2.2 Logarithme et Fonction logarithmique dans le manuel .20
Chapitre 2. CONCEPT DU LOGARITHME ET DE LA FONCTION
LOGARITHMIQUE AU NIVEAU DE SAVOIR À
ENSEIGNER 25
2.1. Manuel scolaire publié en 1991 25
2.2. Manuel scolaire (selon le programme de modification fusionnée) publié
en 2000 .37
2.3. Manuel scolaire publié en 2008 41
Chapitre 3. EXPÉRIMENTATIONS 48
Expérimentation A 49
3.1. Finalité de l’expérimentation .49
3.2. Contenu de l’expérimentation 49
3.3. Analyse des résultats 50
3.4. Conclusion 53 Expérimentation B 53
3.5. Finalité de l’expérimentation 53
3.6. Organisation de l’expérimentation .53
3.7. Analyse a priori des questions expérimentales 54
3.7.1 Construction des questions expérimentales .54
3.7.2 Système des questions expérimentales .54
3.7.3 Stratégie et Influence des variables observables .56
3.8. Analyse de la scénario 62
3.9. Analyse a posteriori 62
3.9.1 Fiche 1 63
3.9.2 Fiche 2 64
3.10. Conclusion .65
CONCLUSION 66
BIBLIOGRAPHIES
ANNEXESLISTE DES ABRÉVIATIONS
THPT Lycée
THCS Collège
SGK Manuel scolaire
SGV Livre du professeur
SBT Livre d’Exercices
CLHN Modification fusionnée
TCTH Organisation mathématiques
[a] Mathématiques avancées, No. 2, Calcul différentiel – Des fonctions
usuelles,
Guy Lefort
Les Logarithmes Et Leurs Applications Par André Delachet Presses
Universitaires De France 108, Boulevard Saint-German, Paris 1960
[V1] Algèbre et Analytique 11
e
, Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần,
1991, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation
[P1] Livre du professeur Algèbre et Analytique 11
e
, Trần Văn Hạo, Phan
Trương Dần, 1991, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation
[E1] Livre d’Exercices Algèbre et Analytique 11
e
, Trần Văn Hạo, Phan Trương
Dần, 1991, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation
[V2] Algèbre et Analytique 11
e
, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison
d’Édition du Minitère de l’Éducation
[P2] Guide pédagogique Mathématiques 11
e
, Văn Như Cương, Trần Văn Hạo,
Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation
[E2] Livre d’Exercices Algèbre et Analytique 11
e
, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc
Lanh, 2000, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation
[V3] Analytique 12
e
, Trần Văn Hạo (Directeur de l’Éditeur), 2008, Maison
d’Édition du Minitère de l’Éducation
[P3] Livre du professeur Analytique12
e
, Trần Văn Hạo (Directeur de l’Éditeur),
2008, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation
[E3] Livre d’Exercices Analytique12
e
, Vũ Tuấn (Directeur de l’Éditeur), 2008,
Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation LISTE DES TABLEAUX
Tableau 2.1 Statistique des exemples et des exercices relatifs à la fonction
logarithmique dans le manuel [V1] et le livre d’Exercices [E1]
36
Tableau 2.2 Statistique des exemples et des exercices relatifs à la fonction
logarithmique dans le manuel [V2] et le livre d’Exercices [E2]
40
Tableau 2.3 Statistique des exemples et des exercices relatifs à la fonction
logarithmique dans le manuel [V3] et le livre d’Exercices [E3]
47
Tableau 3.1 Statistique des problèmes dans l’Exercice 1 du professeur 50
Tableau 3.2 Statistique des évaluations des solutions de l’Exercice 2 du
professeur
51
Tableau 3.3 Statisque des solutions attendues de l’Exercice 3 du
professeur
52
Tableau 3.4 Statisque des évaluations du professeur de l’Exercice 4 52
Tableau 3.5 Statisque des solutions d’élèves de l’Exercice 1 (Fiche 1) 63
Tableau 3.6 Statisque des solutions d’élèves de l’Exercice 2 (Fiche 1) 64
Tableau 3.7 Statisque des solutions d’élèves de l’Exercice 3 (Fiche 1) 64
Tableau 3.8 Statisque des évaluations des élèves (Fiche 2) 65 5
INTRODUCTION
1. Premiers constats et questions de départ
Fonction demeure un objet qui joue toujours un rôle important dans le
programme des Mathématiques aux lycées. Parmi des types de fonction, nous nous
intéressons particulièrement au logarithme pour les raisons ci-dessous :
- Le concept du logarithme qui se ramène à la fonction logarithme n’est
pas seulement mentionné dans les Mathématiques mais encore dans différents
domaines comme : physique, chimie, etc. Ce fait enmène à poser plusieures
questions comme suit :
+ Quelles sont des ressemblances et des différences entre la définition du
logarithme dans les mathématiques et celle dans autres sciences ?
+
+
+
+
+
Au lycée, les définitions du logarithme et de la fonction logarithme se
présentent – elles dans les autres disciplines?
Existe-il une liaison entre les définitions du logarithme, de la fonction
logarithme avec ces disciplines?
 Le sujet du logarithme se présente toujours dans le contenu du baccalauréat.
Cependant, par rapport aux manuels des mathématiques actuels aux lycées, son rôle
a reconnu des changements après les renouvellements des programmes et des
manuels :
Algèbre et Analyse 11 publié en 1991 (avant la partie de la dérivée et
l’intégrale) : Fonction exponetielle -> Logarithme de base a -> Fonction
logarithme -> Logarithme de base 10, e.
Algèbre et Analyse 11 ( avec ajustements) publié en 2000 (avant la partie
de la dérivée et l’intégrale) : Fonction exponetielle -> Fonction réciproque
-> Fonction logarithme -> Logarithme de base 10,e.
Analyse 12 publié en 2008 ( après la partie de la dérivée, avant la partie de
l’intégrale) : Fonction puissance -> Logarithme de base a -> Lgarithme de
base 10,e  Fonction exponentielle -> Fonction logarithme 6
Comment paraissent –elles donc les notions du logarithme et de la fonction
logarithme au programme mathématique aux lycées. Quel est le rôle de ces objets?
Et comment s’évoluent – ils?
De manière systématique, nous trouvons la nécessité de poser ces questions
comme suit :
 Au niveau du savoir savant, comment sont-ils mentionnés, le concept du
logarithme et celui de la fonction logarithme? Quels sont leurs caractéristiques?
 Au niveau du savoir à enseigner au lycée, pourquoi présente –il le contenu de
ces notions en suivant cet ordre mais pas un autre?
 Révèle-t-il des ressemblances et des différences entre l’oragnisation des
savoirs reliées au logarithme et à la fonction logarithme chez l’université et celle du
lycée? Les raisons expliquent ces différences?
 Comment explique -t-elle, institution cet ordre du choix?
 Quelles sont les conséquences proviennent du choix des types de tâche et des
techniques chez les objets de l’institution (élèves et enseignant) ?
 Demeure -t- il des différences ou des liaisons entre le concept du logarithme et
de la fonction logarithme dans les mathématiques et celui chez les autres
disciplines?
2. Objectifs de recherche et cadre théorique
Ce mémoire vise à trouver les réponses pour les questions ci –dessus.
Pour déterminer les éléments clés de ces questions, nous posons notre étude
dans le cadre théorique du didactique des mathématiques, dont les détails sont :
 Théorie anthropologique : le rapport institutionnel et le rapport individuel en
face d’un savoir, d’une organisation mathématique;
 Théorie des situations : contrat didactique.
 Théorie anthropologique
En ce cas, nous faisons seulement des brièves descriptions de deux notions
qui ont besoin d’une référence de la théorie anthropologique pour déterminer les
réponses des questions posées. 7
Rapport institutionnel, rapport individuel en face d’un savoir
Rapport institutionnel :
Le raport R(I,O) de l’institution I avec le savoir O est un ensemble des
interactions entre l’institution I et le savoir O. Il révèle où, par quel moyen O
apparaît, comment O existe et son rôle pour I ?
Rapport individuel:
La relation R(X,O) de l’individu X avec le savoir O est un ensemble des
interactions entre l’individu X et le savoir O. Il révèle ce que X pense et comprend
de O, comment il manipule O?
L’apprentissage de l’individu X envers le savoir O est le processus d’établir
ou d’ajuster la relation (X,O). Évidemment, pour un savoir O, le rapport de
l’institution I dans laquelle l’individu X est une part laisse toujours une marque
dans le raport (X, O). Pour étudier R(X,O), il nous faut le mettre dans R(I,O)
Organisations mathématiques
Activités mathématiques se présentent une partie des activités sociales; la
réalité mathémathique est une type de la réalité sociale; il faut donc construire un
modèle qui favorit la description et les études de cette réalité. En basant sur ce
point de vue, Yves Chevallaerd (1998) a présenté la notion praxéologie.
D’après Chevallard, chaque praxéologie est un ensemble de 4 éléments
[T,,,], dans lequel T est une type de tâche,  est la technique qui permet à
résoudre T;  est la technologie expliquant la technique , et  est la théorie qui
explique la technologie .
Une praxéologie dont les éléments contiennent des natures mathématiques
s’appelle une organisation mathématique.
Bosch M. et Y. Chevallard (1999) ont clarifié: “Pour une place
institutionnelle définie, le rapport institutionnel envers un sujet est déterminé et
transformé par un ensemble des tâches occupées et réalisé par l’individu obtenant
cette place, sous l’aide des techniques indiquées. Le fait de réalisation de
différentes tâches que l’individu doit faire tout au long de sa vie dans différentes
institutions, où l’individu est considéré comme le sujet (alternatiement ou
simultanément), produit le rapport entre lui même et le sujet mentionné. » 8
Donc, la recherche des organisations mathématiques qui relient étroitement
au savoir O nous aide à clarifier le raport entre R(I,O) de l’institution I envers le
savoir O; de ce point, la relation maintenue entre l’individu X et le savoir O
devient alors éclaircie.
Identifier des organisations mathématiques relatives au savoir O nous aide
ainsi à définir des règles du contrat didactique : par exemple chaque individu a le
droit de faire telles choses, ne doit pas faire telles choses et comment utilise-il le
savoir O.
 Théorie des situations
Dans cette partie, nous n’aborde que la notion qui a besoin de la référence :
le contrat didactique.
Contrat didactique
Le contrat didactique concerne quelques savoirs qui sont modélisation des
droits et des devoirs de l’enseignant et même des élèves envers ces objets. Il est
compris comme un ensemble des règles (souvent implicites) qui divisent et
limitent les responsabilités de chaque membre (l’élève et l’enseignant) envers un
savoir mathématique enseigné.
La définition du contrat didactique permet d’expliquer les comportements de
l’enseignement et de l’élève, de trouver le sens des activités qu’ils mènent ; de ce
point, nous pouvons expliquer exactement les événements observés dans la classe.
D’après Annie BESSOT et Claude COMITI (2000), pour reconnaître des
effets du contrat didactique, nous pouvons suivre les étapes suivantes:
 Créer un bouleversement dans le système éducatif pour mettre les membres
principaux (l’enseignant et l’élève) dans une étrange situation appelée situation
cassant le contrat :
+ En changeant les conditions d’utilisation des savoirs,
+
+
+
En profitant la maîtrise prématurée de l’élève pour des tels savoirs
En se mettant hors du domaine des savoirs examinés ou utilisant les
situations que les savoirs examinés sont incapables de résoudre.
En posant l’enseignant face aux comportements qui n’accordent pas à leur
souhait chez les élèves. 9
 Analyser les composantes du système éducatif en vigeur :
+
+
+
En étudiant les réponses de l’élève au cours,
En analysant des évaluations mathématiques des élèves dans l’utilisation
des savoirs,
En analysant des exercices resolus ou favoris dans le manuel.
En particulier, nous pouvons reconnaître certains éléments représentatifs
pour le savoir du contrat didactique en étudiant les critères de validation de
l’utilisation des savoirs qui est fixée pas seulement par des textes ou par la
définition du savoir, mais encore par des situations d’application, par des
conventions tirées de l’enseignement. Les critères décidant la validation du savoir
en ce cas ne dépendent plus au\ savoir lui-même mais aux contraintes du système
didactique.
Le fait d’enseigner un nouveau savoir produit toujours des situations cassant
le contrat pour les anciens savoirs et demande de négocier de nouveaux contrats :
l’apprentissage est le processus d’habituation des élèves vers ces bouleversements
à travers de la négociation avec l’enseignant. D’après Brousseau, cette négociation
conduit à une type de jeu dont les règles sont provisoirement stables ; ce jeu
permet aux membres principaux, surtout aux élèves de donner leur décision dans
la marge de garantie qui est nécessaire pour assurer leur indépendance tout au long
de l’acquisition.
L’étude des règles du contrat didactique demeure indispensable parce que
pour bien préparer le furur, l’enseignant doit examiner le passé dont la forme
réelle est le contrat en vigeur. Le contrat sur lequel l’enseignant agit s’évolue
discontinuellement, est formé d’une serie des événements venant l’un après
l’autre, représetatifs pour les ruptures du contrat. Casser le contrat révèle le
principe essentiel pour l’évolution attendue.
3. Reformulation des questions et des buts du recherche
Au sein du cadre théorique mentionné, nous reformulons nos questions :
Q1. Quels sont les caractéristiques de l’épismologie du logarithme et de la
fonction logarithme dans la formation et l’évolution ? 10
Q2. À l’université, quels sont des caractéristiques du rapport entre
l’institution avec la notion du logarithme et de la fonction logarithme ?
Quel est son rôle ? sa nature ?
Q3. Comment se forme t-il et s’évolue-t-il le rapport entre l’institution et la
notion du logarithme et de la fonction logarithme chez les lycées aux
Vietnam? Quels sont des caractéristiques des oraganisations
mathématiques qui renvoient à ces notions ? Comment s’évoluent –
elles à l’étape de renouvellement du programme et du manuel ? Quelles
sont des conditions et des contraintes de l’institution sur ces notions et
les notions relatives ? Quels sont des règles de contrat construits par
l’enseignement-l’apprentissage du sujet logarithmique ?
Q4. Quelles sont des ressemblances et des différences tirées du rapport
entre l’institution et la notion du logarithme, de la fonction
logarithme aux universités par rapport aux lycées résidés au Vietnam?
Q5. Comment influence -t-il le rapport institutionnel de l’enseignement du
logarithme, de la fonction logarirthme chez le lycée sur le rapport
l’enseignant - l’élève ?
4. Méthode de recherche
En fin d’atteindre des buts de recherche, nous avons déterminé la méthode
qui est systématisée comme suit :
ÉTUDIER LES SAVOIRS :
Mathématiques
ÉTUDIER LES SAVOIRS À ENSEIGNER:
Institution de l’enseignement des mathématiques aux lycées
vietnamiens
EXPÉRIEMENTER:
Relation individuelle entre l’enseignant et l’élève
Nous pouvons paraphraser le plan de la méthode de recherche comme suit : 11
 Premièrement, nous allons étudier des savoirs savants en analysant certains
manuels de mathématiques des universités. Cette étude vise à comprendre les
présentations des définitions du logarithme et de la fonction logarithme au niveau du
savoir savant.
 Le résultat de l’étude des savoirs sera le base de réfrérence pour l’analyse de
l’institution de l’enseignement des mathématiques aux lycées. Concrètement, nous
allons analyser la notion du logarithme, de la fonction logarithme dans les manuels,
les livres de professeurs, les documents supplémentaires relatifs aux lycées.
 Les résultats obtenus conduiront aux nouvelles questions et aux hypothèses
dont l’adéquation sera justifíée à travers de l’expérimentation. La recherche par
l’expérimentation des enseignants et des élèves chase à comprendre des effets de
l’institution sur la relation individuelle entre l’enseignant et l’élève.
5. Structure du mémoire
Ce mémoire contient 3 parties : l’introduction, 3 chapitres et la conclusion.
 L’introduction présente certains constats et questions de départ qui nous
enmènent au sujet du mémoire, aux buts de recherche, aux méthodes de recherche et
enfin à la structure du mémoire.
 Chapitre 1 présente l’analyse des notions du logarithme et de la fonction
logarithme au niveau du savoir savant. Concrètement, nous abordons certains
éléments historiques relatifs à ces sujets, l’analyse des présentations de ces notions
dans certains manuels chez les universités.
 Chapitre 2 présente l’analyse du rapport entre l’institution de l’enseignement
des mathématiques aux lycées et la notion du logarithme et de la fonction
logarithme.
 Chapitre 3 présente les éxpérimentations dont la première est ménée aux
enseignants des mathématiques de la classe 12 du lycée vietnamien pour
comprendre les effets de l’institution sur le rapport de l’enseignant-l’élève ; la
deuxième est ménée sur les élèves de la classe 12 pour trouver leur rapport
individuel vers la notion du logarithme et de la fonction logarithme.
 La conclusion présente brièvement les résutats obtenus des chapitres 1,2,3 et
des nouvelles pistes de recherche tirés du mémoire.