Tiến Sĩ K-lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5-phân lá

LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC
NĂM 2014

Mục lục
Trang
Lời cam đoan . 1
Mục lục . 2
Danh mục các ký hiệu . 3
MỞ ĐẦU 5
Chương 1 – K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD(5,4)-NHÓM
1.1. Các MD-nhóm và MD-đại số . 13
1.2. Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo . 19
1.3. Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm 22
Chương 2 – LỚP MD(5,4)-PHÂN LÁ
2.1. Phân lá 26
2.2. Tôpô phân lá . 29
2.3. Phân lá đo được . 30
2.4. Phân loại tôpô các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm 31
Chương 3 – K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI CÁC MD(5,4)-PHÂN LÁ
3.1. C*-đại số Connes liên kết với phân lá . 40
3.2. Phép đặc trưng các C*-đại số bằng phương pháp K-hàm tử . 50
3.3. K-lý thuyết đối với phân lá 57
3.4. K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá . 59
KIẾN NGHỊ VÀ KẾT LUẬN . 78
Danh mục các công trình của tác giả . 80
Tài liệu tham khảo 81
Phụ lục . 85
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Xuất phát điểm của vấn đề mà chúng tôi quan tâm là bài toán “Đi tìm lớp các C*-đại số có khả năng đặc trưng được bằng phương pháp K-hàm tử”.
Năm 1943, I. Gelfand và A. Naimark ([13]) đưa ra khái niệm C*-đại số. Các C*-đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng trong Toán học và Vật lý. Tuy nhiên chính vấn đề mô tả cấu trúc các C*-đại số trong trường hợp tổng quát lại rất phức tạp và cho đến nay vẫn còn là một bài toán mở.
Năm 1975, theo một gợi ý của A. A. Kirillov về việc “Đặc trưng (cấu trúc toàn cục) C*-đại số của một lớp các nhóm Lie giải được bằng các K-hàm tử đồng điều”, Đ. N. Diệp ([11]) đã thành công trong việc sử dụng các K-hàm tử đồng điều của Brown-Douglas-Fillmore (còn gọi là K-hàm tử BDF) để đặc trưng C*-đại số C*(Aff ) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng thực . Năm 1976, J. Rosenberg ([18]) đã sử dụng phương pháp tương tự để đặc trưng C*-đại số C*(Aff ) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng phức và C*-đại số của một vài nhóm Lie giải được khác. Trong công trình này, J. Rosenberg đã gọi phương pháp đặc trưng cấu trúc toàn cục của C*-đại số bằng các K-hàm tử BDF là phương pháp của Diệp (Diep’s method). Năm 1977, Đ. N. Diệp ([12]) đã cải tiến phương pháp của mình để đặc trưng các C*-đại số kiểu I bằng các mở rộng lặp nhiều tầng.
Đến lúc này, các K-hàm tử BDF dường như không còn thích hợp với việc đặc trưng cấu trúc cho lớp các C*-đại số phức tạp hơn. Từ đó, một cách tự nhiên, nảy sinh hai vấn đề lớn như sau:
· Vấn đề 1: Tổng quát hóa các K-hàm tử BDF theo cách nào đó để có thể đặc trưng được một lớp rộng hơn các C*-đại số.
· Vấn đề 2: Đi tìm và khảo sát lớp rộng hơn các C*-đại số hoặc lớp các nhóm Lie mà C*-đại số của chúng có khả năng đặc trưng được bằng các K-hàm tử mở rộng.
Năm 1980, G. G. Kasparov ([14]) đã nghiên cứu vấn đề thứ nhất và thành công trong việc tổng quát hóa các K-hàm tử BDF thành các K-song hàm tử toán tử (còn gọi là các KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều. Như một áp dụng đầu tiên, Kasparov đã sử dụng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-đại số C*(H[SUB]3[/SUB]) của nhóm Heisenberg H[SUB]3[/SUB].
Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý rằng phương pháp K-hàm tử thường thích hợp với các C*-đại số có cấu trúc phổ (tức là không gian các lớp tương đương unita của các biểu diễn bất khả quy với tôpô được cảm sinh từ tôpô Jacobson) không quá phức tạp. Đối với C*-đại số nhóm, phổ của nó có thể đồng nhất với đối ngẫu unita của nhóm (tức là không gian các lớp tương đương unita của các biểu diễn unita bất khả quy của nhóm).
Đặc biệt đối với các nhóm Lie, phương pháp quỹ đạo Kirillov cho thấy rằng tập đối ngẫu unita của nhóm có liên hệ trực tiếp với không gian các K-quỹ đạo (hay quỹ đạo đối phụ hợp) của nó. Do đó, việc chọn lớp các nhóm Lie có không gian các K-quỹ đạo không quá phức tạp cho phép ta đặc trưng các C*-đại số nhóm của chúng bằng phương pháp K-hàm tử.
Dựa trên ý tưởng đó, năm 1980, Đ. N. Diệp đã đề nghị xét lớp các C*-đại số của các MD-nhóm. Lớp này rất đơn giản về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo nên nói chung C*-đại số của chúng có thể đặc trưng được nhờ các KK-hàm tử.
Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được n chiều (n là một số nguyên dương). G được gọi là một MDn-nhóm nếu các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc có chiều là một hằng số k (chẵn) nào đó không vượt quá n. Khi thì G còn được gọi là một -nhóm. Đại số Lie(G) của mỗi MDn-nhóm (tương ứng -nhóm) được gọi là một MDn-đại số (tương ứng -đại số). Rõ ràng lớp là con của lớp MD. Đến đây, một bài toán lớn được đặt ra là: “Phân loại các MD-đại số đồng thời đặc trưng C*-đại số của các MD-nhóm tương ứng bằng phương pháp K-hàm tử”.
Năm 1984, H. H. Việt ([35]) đã phân loại triệt để các -đại số. Lớp này chỉ gồm các đại số Lie giao hoán , đại số Lie affine thực Lie(Aff ) và đại số Lie affine phức Lie(Aff ). Ngay sau đó, H. H. Việt đã dùng phương pháp K-hàm tử để đặc trưng C* của phủ phổ dụng đối với nhóm affine phức Aff . Như vậy, cùng với các kết quả có trước của Đ. N. Diệp và J. Rosenberg, việc nghiên cứu lớp con các -đại số và -nhóm xem như đã được giải quyết triệt để. Bài toán tương tự đối với các MD-đại số và MD-nhóm vẫn còn là bài toán mở.
Ngoài ra, cũng do sự phân tầng đơn giản của các K-quỹ đạo đối với lớp các MD-nhóm mà người ta nhận thấy rằng: đối với mỗi MD-nhóm, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của nó tạo thành một phân lá đo được theo nghĩa của A. Connes ([8]). Các phân lá này được gọi là các MD-phân lá liên kết với các MD-nhóm đã xét.
Đối với một phân lá tùy ý, một trong những bài toán quan trọng của “tôpô phân lá” là nghiên cứu không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá) của phân lá đó. Tuy nhiên, đáng tiếc là không gian các lá thường có tôpô không Hausdorff, do đó ta không thể định nghĩa được K-lý thuyết đối với không gian các lá (theo nghĩa thông thường). Đây là một trở ngại lớn trong nghiên cứu tôpô phân lá. Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A. Connes ([8]) đã đề ra ý tưởng là thay bởi , mà từ đó Connes định nghĩa:
Như vậy, để nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá (hay vắn tắt là K-lý thuyết đối với phân lá), ta cần phải tìm hiểu cấu trúc của C*-đại số Connes liên kết với phân lá (hay vắn tắt là C*-đại số của phân lá). Kể từ công trình [8] của A. Connes, việc nghiên cứu C*-đại số của phân lá và K-lý thuyết đối với phân lá trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng thuộc lĩnh vực Hình học không giao hoán do chính A. Connes khởi xướng vào cuối thập niên 70 của thế kỷ trước.
Vấn đề đặt ra là: “Liệu C*-đại số của các phân lá có thích hợp với phương pháp K-hàm tử hay không?”. Đáng chú ý, năm 1985, A. M. Torpe ([22]) đã dùng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-đại số của phân lá Reeb trên xuyến 2 chiều và một số phân lá trên mặt cầu đơn vị S[SUP]3[/SUP].
Kết hợp hai hướng nghiên cứu trên làm nảy sinh bài toán “Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD-phân lá, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các MD-phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử”. Năm 1990, L. A. Vũ ([2]) đã thành công trong việc nghiên cứu bài toán trên lớp con các MD4-phân lá.
Những kết quả ban đầu đạt được trên lớp MD-phân lá đã tạo nên những động lực cần thiết cho việc tiếp tục nghiên cứu sâu hơn. Trường hợp khả dĩ đầu tiên mà chúng tôi nghĩ đến là tiếp tục bài toán với số chiều cao hơn, để từ đó làm cơ sở cho việc phát triển các công cụ cần thiết nhằm giải quyết bài toán trong trường hợp tổng quát.
Ý tưởng đó đã dẫn đến đề tài “K-lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5-phân lá” của tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Anh Vũ.
2. Mục đích của đề tài
Mục đích chính của đề tài là “Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của một lớp con các MD5-nhóm, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử”. Cụ thể như sau:
1. Trên cơ sở định lí phân loại các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán của L. A. Vũ và K. P. Shum, chúng tôi mô tả K-quỹ đạo của lớp con các MD(5,4)-nhóm, tức là các MD5-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân mà MD5-đại số tương ứng của chúng có ideal dẫn xuất (giao hoán) 4 chiều.
2. Phân loại tôpô trên các MD(5,4)-phân lá tương ứng, tức là các MD-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của mỗi MD(5,4)-nhóm được xét.
3. Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá và đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu một lớp con của các MD5-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm tương ứng. Cụ thể, chúng tôi xét bài toán mô tả các K-quỹ đạo của mỗi MD(5,4)-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân.
Tiếp theo, chúng tôi xem xét các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm được xét.
Cuối cùng, chúng tôi xét C*-đại số Connes liên kết với phân lá và khảo sát bài toán đặc trưng C*-đại số của các MD(5,4)-phân lá bằng phương pháp K-hàm tử.