Thạc Sĩ Iđêan nguyên tố đối liên kết và đồng điều địa phương

Đề tài: Iđêan nguyên tố đối liên kết và đồng điều địa phương
MỤC LỤC
Bảng các kí hiệu toán học thường dùng trong luận văn .ii
MỞ ĐẦU . iii
Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN .1
1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và đối ngẫu Matlis 1
1.2 Môđun compăc tuyến tính và đồng điều địa phương .4
Chương 2: IĐÊAN NGUYÊN TỐ ĐỐI LIÊN KẾT VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA
PHƯƠNG 19
2.1 Iđêan nguyên tố đối liên kết .19
2.2 Iđêan nguyên tố đối liên kết và môđun đồng điều địa phương 39
KẾT LUẬN .48
TÀI LIỆU THAM KHẢO .49 MỤC LỤC ii
Bảng các ký hiệu toán học thường dùng trong luận văn
←ư
lim
t
Mt
: giới hạn ngược của hệ ngược các môđun
Mt
lim
ư→
t
Mt
: giới hạn thuận của hệ thuận các môđun
Mt
ΛI (M) : đầy đủ I ư adic của môđun M
Mc : đầy đủ m ưadic của môđun M
Rb : vành đầy đủ m ưadic của vành địa phương (R, m)
ΛI : hàm tử làm đầy I ư adic
L
I
i
: hàm tử dẫn xuất trái thứ i của ΛI
Hi
I
(M) : môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M
theo iđêan I
HI
i
(M) : môđun đồng điều địa phương thứ i của môđun M
theo iđêan I
E(R/ m) : bao nội xạ của R/ m
D(M) : đối ngẫu Matlis của môđun M
L(M) : tổng tất cả các môđun con Artin của môđun M
Spec(R) : tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R
CoassR(M) : tập tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun M
AssR(M) : tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với môđun M
M ax(R) : tập tất cả các iđêan tối đại của vành R
V (p) : tập tất cả các iđêan nguyên tố chứa pMỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết đối đồng điều địa phương của A. Grothendieck đóng một vai
trò quan trọng trong hình học đại số và đại số giao hoán. Sau đó lý
thuyết đồng điều địa phương, được xem như đối ngẫu với đối đồng điều
địa phương, được nhiều nhà toán học nghiên cứu như: Matlis (1974),
Greenlees - May (1992), Alonso Tarrío, López, Tang (1994), Lipman
(1999), Tuy nhiên kết quả rất hạn chế và chủ yếu nghiên cứu trên
lớp môđun artin vì giới hạn ngược lim
←ư
không khớp phải trên phạm trù
các môđun.
Năm 1999 - 2000, Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam đã phát triển
lý thuyết đồng điều địa phương trên các môđun compăc tuyến tính là
lớp môđun rất rộng, chứa cả lớp môđun artin và chứa cả lớp môđun hữu
hạn nếu vành R đầy đủ. Và bằng đối ngẫu Matlis, các tác giả đã thu
được một số kết quả đối với môđun đối đồng điều địa phương.
Khái niệm về iđêan nguyên tố đối liên kết đã được nhiều nhà toán
học nghiên cứu đến như Chamless (1981), Zo¨schinger (1988), Yassemi
(1995), ., đến năm 2000, Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam đã nghiên
iiiMỞ ĐẦU iv
cứu các iđêan nghiên tố đối liên kết với các môđun compăc tuyến tính.
Trong [27], Yassemi đã định nghĩa iđêan nguyên tố đối liên kết như sau:
Một Rưmôđun L được gọi là cocyclic nếu L là một môđun con của
E(R/ m) với m ∈ M ax(R). Cho M là một Rưmôđun. Một iđêan nguyên
tố p của R được gọi là nguyên tố đối liên kết với M nếu có một ảnh đồng
cấu cocyclic L của M sao cho p = AnnR(L). Tập các iđêan nguyên tố
đối liên kết với M được kí hiệu là CoassR(M) hoặc Coass(M). M được
gọi là p ưđối nguyên sơ nếu CoassR(M) = {p}.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn này tiếp tục nghiên cứu các iđêan nguyên tố đối liên kết, tìm
điều kiện hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun
đồng điều địa phương HI
i
(M) của môđun compăc tuyến tính nửa rời rạc
M.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun, môđun
compăc tuyến tính, môđun đồng điều địa phương.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Tìm đươc điều kiện hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết
với môđun đồng điều địa phương, và bằng đối ngẫu Matlis, ta thu đượcMỞ ĐẦU v
một số kết quả quan trọng đối với tập các iđêan nguyên tố liên kết với
môđun đối đồng điều địa phương.
5. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm hai chương
- Chương 1: Kiến thức cơ bản. Phần này ôn lại các kiến thức cơ bản
về đối ngẫu Matlis, giới hạn thuận lim
ư→
, giới hạn ngược lim
←ư
, môđun compăc tuyến tính, môđun đối đồng điều địa phương Hi
I
(M), môđun đồng
điều địa phương HI
i
(M), cùng một số tính chất quan trọng cần thiết cho
chương 2.
- Chương 2: Iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun đồng điều địa
phương. Chương này nghiên cứu các tính chất của iđêan nguyên tố đối
liên kết và sự hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun
đồng điều địa phương HI
i
(M). Phần đầu tiên của chương này dành cho
việc nghiên cứu các tính chất của iđêan nguyên tố đối liên kết trên phạm
trù các môđun, cụ thể như xây dựng mối liên hệ giữa các iđêan nguyên
tố đối liên kết với các iđêan nguyên tố liên kết
Bổ đề 2.1.5: Cho M là một Rưmôđun. Các khẳng định sau là tương
đương
(i) p ∈ CoassR(M).
(ii) Tồn tại m ∈ M ax(R) ∩ V (p) sao cho p ∈ AssR(D(M)).
Bổ đề 2.1.6: Cho M là một Rưmôđun. Nếu p ∈ Ass(M) thì p ∈MỞ ĐẦU vi
Coass(D(M)) với mọi m ∈ M ax(R) ∩ V (p).
Đối với các dãy khớp ngắn, tập các iđêan nguyên tố đối liên kết có
một số tính chất sau
Bổ đề 2.1.8: Cho một dãy khớp ngắn các Rưmôđun
0 ư→ M0
ư→ M ư→ M” ư→ 0.
Khi đó
CoassR(M”) ⊆ CoassR(M) ⊆ CoassR(M0
) ∪ CoassR(M”).
Mệnh đề 2.1.27: Cho một dãy khớp các Rưmôđun
0 ư→ N ư→ M ư→ K ư→ 0.
Khi đó, nếu K là một Rưmôđun hữu hạn thì
CoassR(M) = CoassR(N) ∪ CoassM(K)
Phần thứ hai là nghiên cứu các iđêan nguyên tố đối liên kết với các
môđun compăc tuyên tính, cho ta được một số kết quả quan trọng, cụ
thể như sau:
Mệnh đề 2.1.29: Cho M là một Rưmôđun compăc tuyến tính Iưtách.
Nếu có một phần tử x ∈ I sao cho CoassR(M/xM) là hữu hạn thì
CoassR(M) hữu hạn.
Hệ quả 2.1.32: Nếu M là Rưmôđun compăc tuyến tính nửa rời rạc,
thì tập hợp CoassR(M) hữu hạn.
Phần thứ ba là nghiên cứu các điều kiện để tập các iđêan nguyên tố
đối liên kết với môđun đồng điều địa phương của môđun compăc tuyến
tính nữa rời rạc là hữu hạn.MỞ ĐẦU vii
Định lý 2.2.3: Cho M là một Rưmôđun compăc tuyến tính nửa rời
rạc và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố đối liên kết với
Rưmôđun đồng điều địa phương HI
i
(M) hữu hạn khi Rưmôđun HI
j
(M)
hữu hạn với mọi j < i
Định lý 2.2.4: Cho M là một Rưmôđun compăc tuyến tính nửa rời
rạc và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố đối liên kết với
Rưmôđun đồng điều địa phương HI
i
(M) hữu hạn khi
I ⊆ Rad(AnnR(H
I
j
(M))), ∀j < i.
Phần cuối, bằng đối ngẫu Matlis ta mở rộng được một số tính chất
hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết với môđun đối đồng điều
địa phương.
Hệ quả 2.2.6: Cho (R, m) là một vành địa phương đầy đủ với tôpô
m ưadic và M là một Rưmôđun compăc tuyến tính nửa rời rạc. Cho i
là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố liên kết với môđun đối
đồng điều địa phương Hi
I
(M) là hữu hạn khi
I ⊆ Rad(AnnR(H
j
I
(M))), ∀j < i.
Hệ quả 2.2.8: Cho M là một Rưmôđun hữu hạn trên một vành địa
phương (R, m) và i là một số nguyên không âm. Tập các nguyên tố liên
kết của môđun đối đồng điệu địa phương Hi
I
(M) là hữu hạn khi môđun
H
j
I
(M) là hữu hạn với mọi j<i.