Thạc Sĩ Họ S - Chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính HYPERBOLIC của các không gian phức

LỜI MỞ ĐẦU


Vào những năm đầu của thế kỷ 20, Montel đã đưa ra khái niệm họ chuẩn tắc các hàm chỉnh hình. Từ đó, khái niệm họ chuẩn tắc giữ một vai trò quan trọng đối với lý thuyết hàm biến phức và có ứng dụng rộng rãi trong động lực học, lý thuyết tối ưu, Điều này đã khiến cho việc nghiên cứu các ánh xạ chuẩn tắc được nhiều nhà toán học quan tâm. Việc tìm ra các tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc cho đến nay đã đạt được nhiều kết quả đẹp đẽ như tiêu chuẩn của Montel, tiêu chuẩn của Marty, tiêu chuẩn của Miranda, Đồng thời có những mối liên hệ mật thiết giữa lý thuyết họ ánh xạ chuẩn tắc với giải tích phức hyperbolic. Chẳng hạn, những ánh xạ chuẩn tắc vào không gian phức tuỳ ý có những tính chất quan trọng nhất của ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức hyperbolic compact (hay không gian nhúng hyperbolic). Vì thế, tính hyperbolic của các không gian phức có thể được nghiên cứu từ cách nhìn của họ ánh xạ chuẩn tắc. Đã có nhiều nghiên cứu theo hướng nói trên, năm 1991 dựa trên ý tưởng của Aladro, M.Zaidenberg đã đưa ra khái niệm họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình trên các không gian phức. Trong luận văn này, chúng tôi muốn trình bày những kết quả về họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến dưới góc độ của giải tích phức hyperbolic. Chúng tôi cũng lưu ý đến mối liên hệ mật thiết về tính hyperbolic của không gian phức và tính chuẩn tắc của các ánh xạ thuộc họ s- chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình.

Nội dung của luận văn gồm có hai chương.

Trong chương 1, chúng tôi trình bày những vấn đề cơ bản về giải tích phức

nhiều biến và giải tích hyperbolic nhằm chuẩn bị cho chương sau.

Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm và các tiêu chuẩn metric của họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến, mối liên hệ giữa lý thuyết họ ánh xạ s-chuẩn tắc với tính hyperbolic của các không gian phức. Việc chứng minh chủ yếu dựa trên kiểu của bổ đề Schwarz-Pick hoặc tính chất giảm khoảng cách và các bao hàm thức, bất đẳng thức đã được chứng minh chi tiết. Cuối cùng là phần kết luận của luận văn trình bày tóm tắt các kết quả đã đạt được. Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót hạn chế, rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các độc giả.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Việt Đức. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy. Nhân dịp này em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy, Cô đã giảng dạy cho em các kiến thức khoa học trong suốt quá trình học tập tại trường. Xin cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập của tôi. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành khoá học.




MỤC LỤC




Lời mở đầu 1


Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị . 3


1.1. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức 3


1.2. Không gian phức hyperbolic 5


1.3. Không gian phức hyperbolic Brody . 9


1.4. Không gian phức hyperbolic đầy . 10


1.5. Không gian phức nhúng hyperbolic . 16


1.6. Metric vi phân Royden-Kobayashi 18


Chương 2: Họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính hyperbolic của không gian phức . 21
2.1. Họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tiêu chuẩn metric cho tính s-


chuẩn tắc 21


2.2. Tính chuẩn tắc và tính hyperbolic 34


Kết luận . 47


Tài liệu tham khảo . 48