Giới thiệu Ở trường phổ thông, hình học được dạy và học theo quan điểm hình học Euclid [Ơclid]. Các vật thể hình học được cấu thành từ các mảnh phẳng và mảnh cầu. Quan hệso sánh giữa các vật thể hình học được thực hiện bởi các phép d ời hình; hai vật thể hình học được xem là bằng nhau nếu chúng có thểđược chồng khít lên nhau qua những phép dời hình. Đại số tuyến tính và hình học giải tích xét các vật thể hình học được cấu thành từ các mảnh phẳng và các mảnh bậc 2 nói chung. Các quan hệ so sánh được xét như các phép bi ến đổi tuyên tính hoặc afin. Các đường bậc hai được đưa về 9 dạng chính tắc, các mặt bậc hai trong không gian 3-chiều được đưa về 17 dạng chính tắc Trong hình học đại số bằng phương pháp phân loại có thể nghiên cứu các đường và mặt hoặc siêu mặt bậc 3 hay, tổng quát hơn, bậc bất kì. Phép biến đổi cho phép là các phép bi ến đổi đa thức hoặc song hữu tỉ. Quan điểm nói trên được phát triển trong hình học vi phân khi mà các vật thể được cấu tạo từ các mảnh tham sô hoá bằng các tọa độđịa phương, nói chung các hàm tọa độđịa phương là các hàm trơn bất kì. Các phép biến đổi là các phép vi phôi. Do vậy các vật thể hình học trong hình học vi phân đa dạng hơn, nhiều chiều hơn và theo một nghĩa nhất định là trơn chu hơn các vật thể hình học trong các môn hình học trên. Phương pháp nghiên cứu của hình học vi phân tương đối đa dạng . Trước hết hình học vi phân sử dụng các phép tính vi phân và tích phân trong không gian Euclid Ra để xây dựng các phép tính vi phân và tích phân tương ứng trên các vật thể hình học. Đồng thời nó cũng vận dụng các phương pháp tổng, tổng đại số, phương pháp tổ hợp, phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng , để tìm ra các tính chất của các đối tượng hình học . Giáo trình này được biên soạn trong khuôn khổ chương trình 90 tiết cho sinh viên các năm cuối đại học. Tác giả thứ nhất đã dạy chương trình này cho các lớp của Đại Học Thái Nguyên, Đại Học Quy Nhơn. Thực tế giảng dạy đã gợi ý cho tác giả chọn lọc các nội đung này. Giáo trình gồm có các chương chính sau: Chương 1 được dành cho việc nhìn lại lý thuyết đường và mặt bậc 1 và 2. Mục đích của chương này là tạo ra một khởi điểm hình học cho việc học tiếp tục. Chương 2 được dành cho việc nghiên cứu các đường cong trong không gian Euclid n-chiều. Chương 3 được dành cho việc xây dựng lại khái niệm về tensơ và đại số tensơ. Chương 4 là chương trọng tâm, dành cho lý thuyết mặt cong trong không gian Euclid R3 . Trong chương 5 chúng tôi trình bày phép toán vi phân nhiều chiều cho các ánh xạ trơn, đồng thời trong chương 6 nhấn mạnh các định lí ánh xạẩn và định lí ánh xạ ngược. Hai định lí này đóng vai trò trung tâm trong việc nghiên cứu các đa tạp con trong Rn được xác định bởi hệ phương trình hàm. Trong chương 7 chúng tôi trình bày lý thuyết tổng quát các đa tạp khả vi. Đó chính là các đối tượng trung tâm của hình học vi phân.
