Thạc Sĩ Hệ phương trình hàm cho miền nhiều chiều

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM

CHO MIỀN NHIỀU CHIỀU




LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC





CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ : 1. 01. 01






THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
1-1999 Các Thầy Hướng Dẫn:

PTS Nguyễn Thành Long
Ban Toán _ Tin học
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh

PTS Nguyễn Hội Nghĩa
Ban Đào Tạo Sau Đại Học
Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh


Thầy Nhận Xét 1:

GS-PTS Dương Minh Đức
Khoa Toán
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh


Thầy Nhận Xét 2:

PTS Đậu Thế Cấp
Khoa Toán
Trường Sĩ Quan Vihempich

Người Thực Hiện:

Nguyễn Xuân Mỹ
Ban Toán _ Tin học
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh









LUẬN VĂN ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI
HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ
MINH
Lời đầu tiên, tôi xin kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long
lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tình giúp đỡ của thầy đối với tôi trong
suốt khóa học và nhất là trong việc hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Hội Nghĩa đã
cùng Thầy Nguyễn Thành Long giúp đỡ tôi rất nhiều trong thời gian
thực hiện luận văn .
Xin chân thành cảm ơn Thầy Dương Minh Đức và Thầy Đậu
Thế Cấp đã đọc và cho những ý kiến quý báu cũng như những lời phê
bình bổ ích đối với luận văn.
Tôi cũng xin cảm ơn Thầy Trần Hữu Bổng
đã dành cho tôi
thời gian quý báu và những góp ý sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn.
Xin cảm ơn
Thầy Đỗ Công Khanh va

Thầy Võ Đăng Thảo đã
giúp tôi về thời gian và một số điều kiện để hoàn tất sớm chương trình
học.
Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc khoa Toán, Trường Đại Học
Khoa Học Tự Nhiên, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí
Minh đã tận tình hướng dẫn và cung cấp cho tôi những tư liệu cần thiết
trong suốt thời gian học tập.
Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Phòng quản lý Sau Đại học
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi cho tôi về thủ tục hành chính trong khóa học.
C
ảm ơn Các Bạn học viên lớp Cao học khóa 6 đã hỗ trợ rất
nhiều cho tôi về mọi mặt trong thời gian qua.
Nguyễn Xuân Mỹ
MỤC LỤC

trang
Chương 1: Phần mở đầu 1
Chương 2: Các ký hiệu và kết quả chuẩn bị 4
Chương 3: Sự tồn tại duy nhất và ổn định lời giải 8
Chương 4: Khai triển Maclaurin của lời giải
hệ phương trình hàm tuyến tính 16
Chương 5: Thuật giải lặp cấp hai và áp dụng 35
Phần kết luận 45
Tài liệu tham khảo 47 Phần mở đầu


1
Chương 1

PHẦN MỞ ĐẦU
Chúng tôi xét hệ phương trình hàm sau đây:
(1.1) f x a x f S x g x
i ijk j ijk
k
m
i
j
n
( ) [ , ( ( ))] ( ) = +
= =
? ?
1 1
,
với i n = ? 1, , x
i
O
trong đó
O
i
p R ? là tập compact hoặc không,
g R
i i
:O ? , S
ijk i j
:O O ? , a R R
ijk i
:O × ? ,
1 1 = = = = i j n , k m , ,
là các hàm liên tục cho trước,
f R
i i
:O ? là các ẩn hàm.
Trong [1], các tác giả Wu, Xuan, Zhu đã nghiên cứu hệ (1.1) với
O
i
b b x = -[ , ] ( ) , p = 1 , m = n = 2 , S
ijk
là các nhị thức bậc nhất và
(1.2) a x y a y
ijk ijk
( , )
~
= ,
trong đó
~
a
ijk
là các hằng số thực. Trong trường hợp này lời giải của hệ
(1.1), (1.2) được xấp xỉ bằng một dãy qui nạp hội tụ đều và nó cũng ổn
định đối với các hàm g i .
Trường hợp m n p = = =1, các tác giả Kostrzewski [2],[3], Lupa [4]
đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất lời giải của phương trình hàm sau Phần mở đầu


2
(1.3) ( ) f x a x f S x ( ) , ( ( )) = , x a b ?[ , ],
trong không gian hàm BC[a,b].
Một trường hợp riêng với phương trình hàm Golab-Schinzel
(1.4) f x
f x
x
( )
( )
=
+
2
1
,
các tác giả Knop, Kostrzewski, Lupa, Wrobel trong [6] đã xây dựng tường
minh lời giải không tầm thường f(x) thỏa các điều kiện
(1.5) tồn tại lim ( ) ( )
x
f x f
?-
= -
-
-
1
1 và lim ( ) ( )
x
f x f
?
=
+
+
0
0
như sau
(1.6) f x
f x
( )
( )( )
=
- ? -
-
?
?
?
+ 0 1 , x 1,
c , x = 1,

trong đó c là một hằng số tùy ý.
Trong trường hợp p R , = = ? 1 , i = 1,n
i
O O , là khoảng đóng bị
chận hay không bị chận, các tác giả Long, Nghĩa, Khôi, Ruy [5], bằng định
lý điểm bất động Banach đã thu được kết quả về sự tồn tại và duy nhất lời
giải của hệ (1.1) và lời giải cũng ổn định đối với các hàm g i .
Trong trường hợp a
ijk
giống như (1.2) và S x
ijk
( ) là các nhị thức bậc
nhất, ( ) [ ] g C R
i
r ? O O , , = -b,b , trong [5] thu được khai triển Maclaurin của
lời giải hệ (1.1) đến cấp r. Hơn nữa, nếu g x
i
( ) là các đa thức bậc r thì lời
giải hệ (1.1) cũng vậy.
Luận văn được sắp xếp theo 5 chương Phần mở đầu


3
_ Chương mở đầu là phần giới thiệu hệ phương trình hàm và điểm
qua sơ nét các kết quả đã có trước đó, tiếp theo là giới thiệu các phần
trình bày trong luận văn.
_ Chương 2 là phần giới thiệu một số ký hiệu, các không gian hàm
sử dụng trong luận văn và một số kết quả sẽ dùng cho các chương sau.
_ Chương 3 trình bày một số kết quả tồn tại và duy nhất lời giải của
hệ phương trình hàm (1.1), sự ổn định của lời giải đối với các hàm g
i
. Một
số kết quả trong chương này cũng đã tổng quát hóa các kết quả trong [1],
[5] mà chứa trường hợp p = 1 như là một trường hợp riêng.
_ Chương 4 là phần khảo sát khai triển Maclaurin của lời giải của
hệ (1.1) với trường hợp S x B x c
ijk
ijk ijk ( ) = + , với B ijk là ma trận cấp p,
vectơ c R ijk p
? thỏa một số điều kiện nào đó .
Kết quả thu được trong phần này cho một công thức biểu diễn lời
giải của hệ phương trình hàm (1.1) và nếu g
i
là đa thức thì lời giải thu
được cũng là đa thức đồng bậc với g
i
. Hơn nữa nếu g
i
liên tục, lời giải
sẽ được xấp xỉ bởi dãy các đa thức hội tụ đều. Kết quả thu đượcđã mở
rộng thực sự các kết quả trong [1], [5].
_ Chương 5 là phần khảo sát thuật giải lặp cấp 2 của hệ (1.1). Cũng
trong chương này, chúng tôi xét một dạng khác của hệ phương trình hàm
tuyến tính mà có thể đưa về và áp dụng các kết quả của hệ (1.1).
Cuối cùng là phần kết luận và các tài liệu tham khảo. Chương2


4
Chương 2

CÁC KÝ HIỆU VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ

2.1 Định lý điểm bất động Banach
Chúng ta thường xuyên sử dụng định lý điểm bất động Banach sau:
Định lý 2.1

Cho X là không gian Banach với chuẩn
.,
K X ?
là tập đóng.
Cho
T : K K ?
là ánh xạ thỏa mãn
Tồn tại số thực
s s , 0 1 = <
sao cho
(2.1)

T x T y x y ( ) ( ) - = - ? ? s , x, y K
.
Khi đó ta có
(i) Tồn tại duy nhất
x K
*
? sao cho
x T x
* *
= ( ) .

(ii) Với mỗi
x K
0
? ,
xét dãy
{ } x
?
cho bởi
x T x
? ?
? =
-
( )
1
, = 1,2, .

ta có
(j)
lim
v
x x
?8
*
- =
?
0,
(jj)
x x x T x
?
? s
s
- = -
-
?? =
* 0 0 1
12 ( ) , , . ,
Chứng minh định lý 2.1 có thể tìm thấy trong các quyển sách về
nhập môn giải tích.
Chương2


5
2.2 Các đa chỉ số
Nếu a a a a = ( , , ., )
1 2 p
là bộ p-thứ tự các số nguyên không âm a
j
,
ta gọi a là p-đa chỉ số.
Một điểm x R p ? được ký hiệu x x x x
p
= ( , , ., )
1 2
, ta ký hiệu x a là
đơn thức bậc a a a = + +
1
.
p
sau
(2.2) x x x x
p
p a a a a
=
1 2
1 2
.
Tương tự nếu D
x
j p
j
j
= = =
?
?
, 1 , ký hiệu toán tử đạo hàm
riêng cấp 1 theo biến thứ j thì
D D D D
x x x p
p
p
p
a a a a
a
a a a
?
? ? ?
= =
1 2
1 2
1 2
1 2
.
.

chỉ một toán tử đạo hàm riêng cấp a .
Ta cũng ký hiệu
D f f ( , , ., ) 0 0 0 = .
2.3 Các không gian hàm
Giả sử O
i
p R n ? = = , 1 i , ta đặt ( ) X C R
i b i
= O ; là không gian
Banach các hàm số liên tục bị chận f : R
i
O ? với chuẩn
(2.3) f f x X X
x
i i
i
= ?
?
sup ( )
O
, f .
Nếu O
i
là tập compact, ta đặt ( ) X C R
i i
= O ; là không gian Banach
các hàm số liên tục f : R
i
O ? với chuẩn như (2.3). Chương2


6
Ta cũng lưu ý rằng nếu O
i
là tập mở thì ( ) C R
i
O ; cũng ký hiệu là
không gian vector các hàm số f : R
i
O ? liên tục. Hơn nữa các hàm trong
( ) C R
i
O ; không nhất thiết bị chặn trong O
i
. Nếu ( ) f C R
i
? O ; bị chận và
liên tục đều trên O
i
thì nó có duy nhất một nới rộng liên tục trên bao
đóng Oi của O
i
. Do đó, ta định nghĩa ( ) C R iO ; là không gian vector xác
định bởi
( ) C R iO ; = { ( ) f C R
i
? O ; : f bị chận và liên tục đều trên O
i
}.
Mặt khác ( ) C R iO ; cũng là một không gian Banach đối với chuẩn
(2.3).
Với chú ý tương tự trong trường hợp O
i
p R ? là tập mở thì ta cũng
ký hiệu ( ) C R m
i
O ; là không gian vectơ các hàm f : R
i
O ? sao cho tất cả
các đạo hàm riêng của f đến cấp m đều thuộc ( ) C R
i
O ; , nghĩa là
( ) ( ) ( ) { } C R f R f R m m
i
O O O ; ; ; , = ? ? = C : D C
i i
a a
và ( ) ( ) ( ) { } C R f R f R m m
iO O O ; ; ; , = ? ? = C : D C m
i
i
a a .
Mặt khác ( ) C R m
iO ; cũng là không gian Banach với chuẩn
f D f x C R
m x
m
i
( ; ) max sup ( ) O
O
=
=
?
a
a .
Không gian tích Descartes X X X X
n
= × × ··· ×
1 2
trang bị một
chuẩn
(2.4) ( ) f f f f X X i X
i
n
n
i
= ?
=
?
1
2
, f = f
1
, , ., . Chương2


7
là một không gian Banach.
Ta viết hệ phương trình hàm (1.1) dưới dạng phương trình toán tử
trong X như sau
(2.5) f = Tf ,
trong đó ( ) f = f
1
, , ., f f
n 2
, ( ) Tf = (Tf)
1
,( ) , .,( ) Tf Tf
n 2
.
với
(2.6) ( ) ( ) ( ) , ( ( )) ( ) Tf x a x f S x g x
i ijk j ijk
k
m
j
n
i i
= + ?
= =
? ?
1 1
, x , i = 1, n O .