Tiến Sĩ Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc

LUẬN ÁN TIẾN SỸ
NĂM 2014

Mở đầu
Sau khi khái niệm phạm trù monoidal (hay phạm trù tenxơ) được đề xuất
bởi J. Bénabou, S. Mac Lane, G. M. Kelly, . vào đầu những năm 60 của thế
kỷ trước, nó đã được nhiều người quan tâm nghiên cứu và phát triển khá nhanh.
Phạm trù monoidal được "mịn hóa" để trở thành phạm trù với cấu trúc nhóm
khi bổ sung thêm khái niệm vật khả nghịch. Trong trường hợp phạm trù nền
là một groupoid (nghĩa là mọi mũi tên trong phạm trù đều là đẳng cấu) thì ta
thu được khái niệm nhóm phạm trù. Trong trường hợp nhóm phạm trù có thêm
ràng buộc giao hoán thì ta thu được khái niệm nhóm phạm trù đối xứng (hay
phạm trù Picard.
Những tác giả đầu tiên nghiên cứu về nhóm phạm trù mà ta có thể kể đến
là N. Saavedra Rivano, H. X. Sính, M. L. Laplaza, . Trong luận án của mình
năm 1975, H. X. Sính đã mô tả cấu trúc của nhóm phạm trù và phạm trù Picard
và phân lớp chúng bởi nhóm đối đồng điều chiều 3 của các nhóm. Kết quả này
đã cho phép xác lập mối liên hệ giữa lý thuyết nhóm phạm trù, đối đồng điều
nhóm và bài toán mở rộng nhóm cổ điển của Schreier - Eilenberg - Mac Lane.
Sau đó, lý thuyết nhóm phạm trù với tính khái quát của nó ngày càng có nhiều
ứng dụng.
Các nhóm phạm trù -phân bậc được giới thiệu lần đầu tiên bởi A. Frohlich
và C. T. C. Wall (1974). Vào năm 2002, A. M. Cegarra và các cộng sự đã chứng
minh định lý phân lớp chính xác cho phạm trù các nhóm phạm trù phân bậc và
các hàm tử monoidal phân bậc bởi nhóm đối đồng điều đẳng biến chiều thứ 3.
Sau đó, các kết quả này đã được áp dụng để đưa ra lời giải thích hợp cho bài
toán mở rộng đẳng biến của nhóm với hạt nhân không aben.
Nhóm phạm trù bện được xét tới lần đầu bởi A. Joyal và R. Street (1993)
như một mở rộng của phạm trù Picard, trong đó các nhóm phạm trù bện đã
được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều aben H3
ab(M;N). Bài toán phân lớp
đồng luân cho phạm trù các nhóm phạm trù bện phân bậc, và trường hợp riêng
của nó là phạm trù các phạm trù Picard phân bậc đã được A. M. Cegarra và E.
Khmaladze giải quyết vào năm 2007.
Vào năm 2010, N. T. Quang đã giới thiệu một cách tiếp cận khác cho bài
toán phân lớp phạm trù các nhóm phạm trù -phân bậc dựa trên phương pháp
1
hệ nhân tử (hay giả hàm tử theo nghĩa của A. Grothendieck). Phương pháp này
có nhiều triển vọng trong việc áp dụng cho phạm trù các nhóm phạm trù bện
-phân bậc.
Nếu như nhóm phạm trù được xem như là một phiên bản phạm trù của cấu
trúc nhóm thì vào năm 1988 N. T. Quang đã đưa ra khái niệm Ann-phạm trù,

xem như một phạm trù hóa của khái niệm vành, với những đòi hỏi về tính khả
nghịch của các vật và của các mũi tên trong phạm trù nền. Đặc biệt, lớp các
Ann-phạm trù chính quy (ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện cX;X = id
đối với mọi vật X) đã được N. T. Quang phân lớp bởi nhóm đối đồng điều của
đại số kết hợp H3S
hu(R;M) theo nghĩa của Shukla. Sau đó, bài toán phân lớp
các Ann-hàm tử đã được N. T. Quang và D. D. Hanh (2009) giải quyết nhờ các
nhóm đối đồng điều chiều thấp của đối đồng điều vành Mac Lane, và chỉ ra
mối liên hệ giữa bài toán mở rộng vành và lý thuyết cản trở của các Ann-hàm
tử. Gần đây nhất (2013), bài toán phân lớp các Ann-phạm trù trong trường hợp
tổng quát đã được N. T. Quang giải quyết trọn vẹn.
Môđun chéo của các nhóm được J. H. C. Whitehead đưa ra vào năm 1949
trong công trình nghiên cứu của ông về biểu diễn 2-dạng đồng luân mà không
có sự trợ giúp của lý thuyết phạm trù. Vào năm 1976, R. Brown và C. Spencer
đã chỉ ra rằng mỗi môđun chéo đều xác định một G-groupoid (nghĩa là, một
nhóm phạm trù chặt chẽ) và ngược lại, do đó môđun chéo có thể được nghiên
cứu bởi lý thuyết phạm trù. Kết quả này cho phép xác lập mối liên hệ giữa lý
thuyết nhóm phạm trù với môđun chéo, một khái niệm cơ bản và có nguồn gốc
từ tôpô đại số.
Bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo, một dạng khái quát của bài toán
mở rộng nhóm cổ điển, được P. Dedeker giới thiệu năm 1964 đã được R. Brown
và O. Mucuk giải quyết (1994), trong đó các tác giả đã giải thích và chứng minh
định lý về sự tồn tại và phân lớp các mở rộng loại này bằng cách sử dụng phương
pháp phức chéo, tương tự như phương pháp phức xích trong đại số đồng điều.
Một dạng khái quát khác của bài toán mở rộng nhóm cổ điển là bài toán mở
rộng nhóm đẳng biến đã được A. M. Cegarra và các đồng tác giả giải quyết có
sử dụng kết quả của lý thuyết nhóm phạm trù phân bậc.
Khái niệm môđun chéo của các nhóm của J. H. C. Whitehead (1949) cũng
đã được tổng quát hóa theo nhiều cách khác nhau. Vào năm 2002, H. -J. Baues
đã giới thiệu khái niệm môđun chéo trên các k-đại số (k là trường). Sau đó,
H. -J. Baues và T. Pirashvili (2004) đã thay thế trường k bởi vành giao hoán K
và gọi các môđun chéo trên các K-đại số là song môđun chéo. Đặc biệt, với
K = Z thì thu được khái niệm song môđun chéo trên các vành.
Khái niệm môđun chéo trên các nhóm có thể được xác định trên vành theo
một cách khác, mà chúng tôi gọi là E-hệ. Trường hợp đặc biệt của E-hệ, E-hệ
chính quy, trùng với khái niệm song môđun chéo trên vành, và do đó khái niệm
E-hệ là yếu hơn khái niệm song môđun chéo trên vành. Tương tự như môđun
chéo trên các nhóm, chúng tôi biểu diễn các E-hệ chính quy thông qua các
Ann-phạm trù chặt chẽ, và từ đó phân lớp phạm trù các E-hệ chính quy. Đồng
thời, chúng tôi đưa ra và giải quyết bài toán mở rộng vành kiểu E-hệ chính
quy, xem như là một ứng dụng của khái niệm E-hệ cũng như của lý thuyết
Ann-phạm trù.
Một phiên bản khác của khái niệm môđun chéo trên các nhóm là khái niệm
môđun chéo -đẳng biến (hay -môđun chéo). Khái niệm này đã được B.
Noohi đưa ra vào năm 2011 khi so sánh các phương pháp khác nhau để định
nghĩa đối đồng điều nhóm với các hệ tử trong một môđun chéo. Với khái niệm
này, chúng tôi giới thiệu khái niệm nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ để biểu
diễn các -môđun chéo, phát biểu và giải bài toán mở rộng nhóm đẳng biến
kiểu -môđun chéo.
Ngoài các phần mở đầu và kết luận, luận án gồm 5 chương như sau.
Chương 1, Một số kiến thức chuẩn bị, trình bày một số khái niệm và kết
quả đã biết của lý thuyết phạm trù với cấu trúc sẽ được sử dụng cho các chương
sau.
Chương 2, Phân lớp các hàm tử monoidal kiểu ('; f) và ứng dụng, bao gồm
một số nội dung sau. Trước hết, chúng tôi mô tả về các hàm tử monoidal giữa

các nhóm phạm trù kiểu (;A), trình bày lý thuyết cản trở và định lý phân lớp
cho các hàm tử loại này. Từ đó chứng minh định lý phân lớp cho phạm trù các
nhóm phạm trù và phạm trù các nhóm phạm trù bện, đồng thời giới thiệu một
ứng dụng đại số của lý thuyết cản trở của các hàm tử monoidal liên quan đến
bài toán mở rộng nhóm. Cũng trong Chương 2 này, chúng tôi chứng minh định
lý phân lớp cho phạm trù các nhóm phạm trù bện phân bậc bằng phương pháp
hệ nhân tử.
Chương 3, Nhóm phạm trù chặt chẽ và mở rộng nhóm kiểu môđun chéo,
nghiên cứu về mối liên hệ giữa môđun chéo, nhóm phạm trù chặt chẽ và bài
toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo. Chúng tôi chỉ ra mối liên hệ giữa các
đồng cấu môđun chéo với các hàm tử monoidal giữa các nhóm phạm trù chặt
chẽ liên kết với các môđun chéo đó, từ đó thu được định lý phân lớp cho phạm
trù các môđun chéo là mở rộng một kết quả đã biết của R. Brown và C. Spencer.
Chúng tôi cũng sử dụng lý thuyết nhóm phạm trù chặt chẽ để thu lại được kết
quả của bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo của R. Brown và các cộng
sự.


Chương 4, Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ và mở rộng nhóm đẳng biến
kiểu -môđun chéo, trình bày lý thuyết mở rộng nhóm đẳng biến kiểu-môđun
chéo, một khái quát chung cho cả hai lý thuyết mở rộng nhóm kiểu môđun chéo
của R. Brown và lý thuyết mở rộng nhóm đẳng biến của A. M. Cegarra. Chúng
tôi cũng biểu diễn các -môđun chéo qua các nhóm phạm trù phân bậc chặt
chẽ để từ đó phân lớp các -môđun chéo.
Chương 5, Ann-phạm trù chặt chẽ và mở rộng vành kiểu E-hệ chính quy,
nghiên cứu về E-hệ, mối liên hệ của chúng với một số khái niệm liên quan đã
biết và tìm kiếm ứng dụng liên quan đến bài toán mở rộng. Chúng tôi giới thiệu
khái niệm E-hệ và E-hệ chính quy như là một phiên bản của môđun chéo trên
các nhóm cho vành, trong đó các E-hệ chính quy được biểu diễn thông qua
các Ann-phạm trù chặt chẽ, đồng thời các E-hệ chính quy chính là các song
môđun chéo trên vành. Chúng tôi đưa ra và giải quyết bài toán mở rộng vành
kiểu E-hệ chính quy, xem như là một ứng dụng của khái niệm E-hệ cũng như
của lý thuyết Ann-phạm trù.
Việc đánh số các chương, mục, định lý, mệnh đề, . trong bản tóm tắt này
được giữ nguyên như ở trong luận án.
Các kết quả của luận án được viết thành 5 bài báo, trong đó có 4 bài đã
được đăng (với 3 bài trên 3 tạp chí quốc tế thuộc danh mục MathSciNet), 1 bài
ở dạng tiền công bố.