Thạc Sĩ Hệ ghi cơ số và một số ứng dụng

Mục lục
Mục lục 1
Lời nói đầu 3
1 Hệ ghi cơ số 5
1.1 Khái niệm hệ ghi cơ số 6
1.2 Các phép toán và vấn đề đổi cơ số . 9
2 Một số ứng dụng của hệ ghi cơ số 16
2.1 Định lý của Legendre và Định lý của Kummer . 16
2.2 Xây dựng đa thức bất khả quy từ số nguyên tố . 21
2.3 Một số ứng dụng của hệ ghi cơ số trong toán sơ cấp 28
Kết luận 39
Tài liệu tham khảo 40
12
Lời cảm ơn
Tr-ớc hết, xin đ-ợc tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TS Lê
Thị Thanh Nhàn. Mặc dù rất bận rộn trong công việc nh-ng Cô vẫn dành
thời gian và tâm huyết trong việc h-ớng dẫn. Cho đến hôm nay, luận văn
thạc sĩ của tôi đã đ-ợc hoàn thành cũng chính là nhờ sự sự giúp đỡ nhiệt
tình của Cô.
Tôi xin cảm ơn chân thành tới Tr-ờng Đại học Khoa học Thái Nguyên,
nơi tôi đã nhận đ-ợc một học vấn sau đại học căn bản và xin trân trọng
cảm ơn Ban Giám hiệu nhà tr-ờng, Khoa Toán - Tin và Phòng Đào tạo của
tr-ờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin trân trọng cảm
ơn các Thầy Cô đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng nh-
tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè,
những ng-ời đã không ngừng động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện tốt
nhất cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn. Luận văn
này đ-ợc thực hiện và hoàn thành tại Tr-ờng Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên.3
Lời nói đầu
Do nhu cầu thực tiễn của cuộc sống, có thể nói hệ ghi cơ số là một trong
những lí thuyết toán học đầu tiên xuất hiện, đ-ợc hình thành và phát triển
song hành với sự phát triển của văn minh nhân loại. Hệ ghi cơ số là một nội
dung quan trọng trong số học và có nhiều ứng dụng khác nhau trong khoa
học và thực tiễn. Lí thuyết hệ ghi cơ số liên quan đến nhiều lĩnh vực khác
của toán học nh- Lí thuyết số; Toán rời rạc; Ph-ơng trình nghiệm nguyên
và ph-ơng trình hàm; Đa thức; Qui nạp toán học; Các bài toán trò chơi v.v.
Một số hệ ghi cơ số quan trọng là hệ thập phân (cơ số 10), hệ nhị phân
(cơ số 2), hệ bát phân (cơ số 8), hệ thập lục phân (cơ số 16). Hệ ghi cơ số
đ-ợc sử dụng phổ biến nhất hiện nay là hệ thập phân, xuất hiện đầu tiên ở
ấn độ vào Thế kỷ 5 sau công nguyên. Đến năm 1202 nhờ tác phẩm Liber
Abacci của L. Fibonacci (một nhà toán học và th-ơng gia ng-ời ´Y), thì hệ
ghi thập phân mới đ-ợc truyền bá vào châu Âu. Hệ nhị phân đ-ợc sử dụng
bởi ng-ời Babylon (khoảng Thế kỉ 5 đến Thế kỉ 3 r-ớc Công Nguyên), ngày
nay hệ nhị phân, hệ bát phân và hệ thập lục phân đang đ-ợc sử dụng rộng
rãi trong lĩnh vực khoa học máy tính và bảo mật thông tin. Nhiều hệ ghi
cơ số khác nh- cơ số 12, cơ số 7, cơ số 3, v.v. đến này vẫn đ-ợc quan tâm
và sử dụng.
Luận văn này quan tâm đến vấn đề biểu diễn trong các hệ ghi cơ số
và một số ứng dụng trong toán sơ cấp. Luận văn gồm 2 ch-ơng. Trong
Ch-ơng 1, chúng tôi trình bày khái niệm hệ ghi cơ số, một số tính chất cơ
sở, các phép toán và bài toán đổi cơ số. Ch-ơng 2 trình bày một số ứng
dụng của hệ ghi cơ số. Tr-ớc hết, thông qua một biểu diễn của số n trong
hệ ghi cơ số p với p là số nguyên tố, chúng ta có thể tính đ-ợc số tự nhiên
t lớn nhất sao cho p t
là -ớc của n! (Định lí của Legendre). Cũng thông qua4
biểu diễn của hai số tự nhiên a và b trong hệ ghi cơ số p với p nguyên tố,
chúng ta có thể tính đ-ợc số t lớn nhất sao cho p t
là -ớc của C a
a+b
, trong
đó C a
a+b
là số tổ hợp chập a của a + b phần tử (Định lí Kummer). Hai định
lí này đ-ợc trình bày trong Tiết 2.1 của luận văn. Trong Tiết 2.2, chúng tôi
trình bày một ứng dụng nữa của hệ ghi cơ số trong vấn đề xây dựng các đa
thức (với hệ số nguyên) bất khả quy trên Q. Khi p là một số nguyên tố và
b > 2 là một số tự nhiên, nếu p = (a n . a 1 a 0 ) b là biểu diễn của p trong hệ
ghi cơ số b thì đa thức f(x) = a n x n + . + a 1 x + a 0 là bất khả quy trên
Q (Định lí của Murty). Tiết 2.3 quan tâm đến ứng dụng của hệ ghi cơ số
để giải một số dạng toán số học sơ cấp, đặc biệt là những bài toán thi học
sinh giỏi bậc phổ thông trung học.
Ngoài một số thông tin về hệ ghi cơ số đ-ợc tham khảo trên trang
Wikipedia, luận văn đ-ợc viết dựa trên 4 tài liệu sau đây
1. Lê Thanh Nhàn, Lí thuyết đa thức (Giáo trình sau đại học), NXB
ĐHQGHN, 2015.
2. David Anthony Santos, Number Theory for Mathematical Contests,
GNU Free Documentation License, October 31, 2007.
3. J. Stillwell, Elements of Number Theory, Springer, 2003.
4. M. Ram Murty, Prime numbers and irreducible polynomials, The
American Math. Monthly, 109 (2002), 452-458.