Thạc Sĩ Hệ đếm và ứng dụng trong toán phổ thông

LỜI NÓI ĐẦU

Có thể nói hệ đếm là lí thuyết toán học đầu tiên xuất hiện do nhu cầu thực tiễn của cuộc sống, được hình thành và phát triển song hành với sự phát triển của văn minh nhân loại. Trong cuộc sống ta luôn phải sử dụng hệ đếm (cơ số 10) để tính toán. Hệ đếm cơ số 2, cùng với các hệ đếm cơ số 10, cơ số 8, . là cơ sở làm việc của máy tính điện tử. Lí thuyết hệ đếm (cơ số bất kì) còn liên quan đến nhiều lĩnh vực khác của toán học: lí thuyết chia hết, toán rời rạc, phương trình nghiệm nguyên và phương trình hàm, qui nạp toán học, các bài toán trò chơi, .
Mặc dù hệ đếm đóng vai trò rất quan trọng trong cuộc sống hàng ngày cũng như trong học tập, những kiến thức về hệ đếm còn ít được quan tâm giảng dạy trong trường phổ thông. Vì vậy phần lớn học sinh có thể sử dụng thành thạo những ứng dụng của hệ đếm (máy tính điện tử, máy ảnh số, máy nghe nhạc, .) nhưng không có các kiến thức sơ đẳng về hệ đếm. Thí dụ, phần lớn học sinh biết sử dụng máy tính điện tử khoa học để làm các phép toán, không chỉ các phép toán số học, mà còn các phép toán cao cấp (lấy modulo, tính theo công thức truy hồi .), nhưng không hiểu cơ chế thực hiện các tính toán trên máy.
Luận văn Hệ đếm và ứng dụng trong toán phổ thông có mục đích trình bày các kiến thức cơ bản của hệ đếm và một số ứng dụng của hệ đếm trong giải toán phổ thông (các tiêu chuẩn chia hết trong hệ đếm bất kì, phương pháp hệ đếm giải một lớp các bài toán thi vô địch quốc gia và quốc tế).
Luận văn gồm hai chương.
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản của hệ đếm và tính toán trên máy: Khái niệm hệ đếm, đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số này sang hệ đếm cơ số khác, tính toán số học trong hệ đếm cơ số bất kì; Sử dụng máy tính
khoa học (Caculator, Vianacal Vn-570MS, Casio fx570MS, Casio fx-570ES, .)
và phần mềm tính toán Maple để đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số này sang hệ đếm cơ số khác và tính toán số học trên hệ đếm cơ số bất kì. Cuối chương trình bày sơ lược nguyên lí trao đổi thông tin trên máy tính điện tử.
Chương 2 trình bày hai ứng dụng của hệ đếm trong toán phổ thông. Một số tính chất chia hết trong hệ đếm cơ số 10 được mở rộng sang cho hệ đếm cơ số bất kì trong §1 của Chương. Điều này cho phép nhìn lại các qui tắc và tiêu chuẩn chia hết trong hệ đếm cơ số 10 và ứng dụng để giải một số bài toán chia hết. Ứng dụng của hệ đếm trong giải toán được minh họa bởi nhiều bài toán thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc tế trong §2 của Chương, qua đây ta cũng thấy rõ mối quan hệ giữa hệ đếm với các vấn đề khác của toán phổ thông (phương trình hàm, phương trình nghiệm nguyên, dãy truy hồi, .). Những bài thi vô địch đã có trong [7] và [8] không được trình bày ở đây. Vì vậy, kết hợp § này với [7] và [8], số lượng bài toán là đủ nhiều để có thể coi Hệ đếm như một phương pháp giải các bài toán gặp trong phương trình hàm, phương trình nghiệm nguyên, .
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Tạ
Duy Phượng. Xin được tỏ lòng cám ơn chân thành nhất tới Thầy.
Tác giả xin cám ơn chân thành tới Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, nơi tác giả đã nhận được một học vấn sau đại học căn bản.
Và cuối cùng, xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã cảm thông, ủng hộ và giúp đỡ trong suốt thời gian tác giả học Cao học và viết luận văn.


MỤC LỤC


Trang


Lời nói đầu .2-3

Chương 1 Hệ đếm .4

§1 Khái niệm hệ đếm với cơ số bất kỳ .4
§2 Qui tắc đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số này sang hệ cơ số khác . 9
§3 Đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số này sang hệ đếm cơ số khác 11

§4 Sử dụng máy tính đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số
k1 này sang hệ

đếm cơ số k2
22

§5 Tính toán số học trong hệ đếm cơ số bất kỳ .30
§6 Thực hiện tính toán số học trên máy tính .38

§7 Sử dụng phép chia để đổi biểu diễn của một số từ hệ đếm cơ số
k1 sang hệ

đếm cơ số
k2 43

§8. Sơ lược về ứng dụng của hệ đếm trong máy tính điện tử .46

Chương 2 Ứng dụng của hệ đếm trong toán phổ thông .52
§1 Tính chất chia hết 52
§2 Sử dụng hệ đếm trong giải toán 65

Kết luận .94

Tài liệu tham khảo . 95