Thạc Sĩ Hàm tử Ext trong phạm trù các không gian lồi Địa phương

Đề tài: Hàm tử Ext trong phạm trù các không gian lồi Địa phương
LỜ I CẢ M Ơ N
Đầu tiên, tôi xin gởi đến TS. Trần Huyên, Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm
Tp. Hồ Chí Minh – người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành
luận văn này lòng biết ơ n chân thành và sâu sắc nhất.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơ n các thầy cô trong trường Đại Học Sư Phạm Tp.
Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suố t quá tr ình học tập cũng
như tìm tòi các tài liệu cho việc nghiên cứu.
Vì kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏ i nhữ ng thiế u sót, rấ t mong
được sự chỉ bảo chân thành của các thầy, các cô và các bạn. - 2 -
MỞ ĐẦ U
Có nhữ ng cách khác nhau để xây d ng hàm t m r ng Ext trong ph m trù
mô đun và mộ t trong các cách đó là xây dự ng b ng phép gi i xạ ả nh. Hơ n nữ a, ta
bi t m t không gian lồ i đị a phư ơ ng có thể xem là mộ t mô đun tự do mà trên đó
đư ợ c trang b m t tôpô lồ i đị a phư ơ ng nào đó. Bây gi n u ta thay phạ m trù mô đun
b ng ph m trù các không gian lồ i đị a phư ơ ng, mà ta s kí hi u là ph m trù k, thì
li u r ng có th xây dự ng đư ợ c hàm t Ext trong đó hay không? Theo đuổ i ý tư ở ng
này, chúng tôi đã xây dự ng đư ợ c hàm t m r ng Ext trên ph m trù k và đó cũng
là mụ c đích chính củ a cu n luậ n văn này.
B c c luậ n văn đư ợ c chia làm hai chư ơ ng:
 Chư ơ ng 1: Kiế n th c chu n b .
Trong chư ơ ng này chúng tôi trình bày mộ t cách khái quát con đư ờ ng xây d ng
hàm t Ext trong phạ m trù mô đun. Đồ ng th i chúng tôi cũng giớ i thi u m t s khái
ni m và tính chấ t cơ bả n liên quan đế n không gian lồ i đia phư ơ ng. Qua đó trình bày v
ph m trù các không gian lồ i đị a phư ơ ng k nh m lấ y làm cơ sở cho vi c xây d ng hàm
t Ext trong chính k sau này.
 Chư ơ ng 2: Xây dự ng hàm t Ext trong ph m trù các không gian lồ i đị a
phư ơ ng.
Mụ c đích củ a cu n luậ n văn này là xây dự ng hàm t Ext trên k và đư ợ c trình bày
rõ trong chư ơ ng hai này. Ở chư ơ ng này chúng tôi sẽ gi i thi u môt s khái ni m và
tính ch t v không gian tôpô thu n nh t, v t xạ ả nh tư ơ ng đố i từ đó đư a ra cách xây
d ng hàm t Ext b ng phép gi i xạ ả nh tư ơ ng đố i.- 3 -
Chư ơ ng I
KI N TH C CHU N B
Mụ c đích củ a chư ơ ng này gồ m hai ph n chính: trình bày cách xây d ng hàm t m
r ng
n
Ext trong phạ m trù mô đun bằ ng phép gi i xạ ả nh và m t s khái ni m, tính ch t
cơ bả n c a ph m trù các không gian lồ i đị a phư ơ ng. Các chứ ng minh đã đư ợ c làm rõ
trong       1 , 2 , 3 nên vi c trình bày ch nh m mụ c đích nhắ c l i chứ không đi sâu vào
chi ti t.
Trong su t quy n lu n văn này khi ta nói không gian tôpô X thì kí hi u sX
là nói
không gian tôpô trên X, và nói không gian vectơ thì ta hi u là không gian vectơ trên
trư ờ ng s th c .
Ta xác đị nh R là vành h tử cho các mô đun đư ợ c nói đế n trong bài viế t này. Để
đơ n giả n ta s g i các R  mô đun trái là các mô đun, các R  đồ ng cấ u là các đồ ng c u.
§1. PHỨ C VÀ ĐỒ NG ĐIỀ U
1.1.1 Ph m trù các ph c
Đị nh nghĩa 1.1.1.1
M t ph c h p dây chuyề n các mô đun là h   , Xn n
 gồ m các mô đun Xn
và
các đồ ng c u
1
:
n n n X X 
  , đư ợ c cho theo t t c các số nguyên n, hơ n nữ a
1
. 0
n n
   . Như vậ y, ph c h p X là m t dãy vô t n về hai đầ u:
1
1 1
: .
n n
X X X X n n n

       
, trong đó tích hai đồ ng c u n i ti p nhau
b ng 0.- 4 -
Đị nh nghĩa 1.1.1.2
Cho   , X X  
n n
và   , X Xn n
     là các ph c. M t biế n đổ i dây chuy n
f X X :   là họ các đồ ng c u   :
n n n
f X X   sao cho
n n n n 1
f f

    đố i v i m i n.
Điề u kiệ n sau cùng tư ơ ng đư ơ ng vớ i điề u ki n biể u đồ (1.1) sau giao hoán:
(1.1)
Về sau này, đôi khi để gi n ti n chúng ta không vi t các ch số các đồ ng cấ u, như
v y các , ,
n n n
  f có thể đư ợ c vi t mộ t cách đơ n giả n là  , , f . Tuy nhiên trong
m i m t h thứ c đồ ng c u, chúng ta ph i ngầ m đị nh là chúng phả i đư ợ c đánh số theo
các ch s nào.
D th y r ng tích hai biế n đổ i dây chuy n là m t biế n đổ i dây chuy n và tích các
biế n đổ i dây chuy n có tính ch t k t h p.
Để ý thêm r ng, v i m i ph c   , X X  
n n
, họ các đồ ng cấ u đồ ng nh t
1 1 :
X X n n   n
  X X là m t bi n đổ i dây chuy n có tính ch t 1 .
X
f f  và .1
X
g g 
n u các tích 1 .
X
f , .1
X
g là xác đị nh. T nhữ ng điề u trên ta th y l p t t c các ph c l p
thành m t ph m trù v i các c u x là các biế n đổ i dây chuy n.
1.1.2 Đồ ng luân dây chuy n
Đị nh nghĩa 1.1.2.1
Cho các biế n đổ i dây chuy n f g X X , :   t ph c   , X X  
n n
t i ph c
  , X Xn n
     . Họ các đồ ng c u  1
:
n n n n
s s X X  
  

đư ợ c g i là m t đồ ng luân
dây chuy n gi a hai biế n đổ i dây chuy n f g, sao cho
n n n n n n 1 1
s s f g
 
      đố i v i
m i n. Khi đó ta viế t: s f g :  .
1
1
1 1
1 1
1 1
: .
: .
n n
n n
n n n
n n n
n n n
f f f
X X X X
X X X X


 
 
 
   
 
  
   
       - 5 -
Đị nh lí 1.1.2.2
N u s f g :  là mộ t đồ ng luân dây chuy n gi a các biế n đổ i dây chuy n
f g X X , :   và s f g    :  là đồ ng luân dây chuy n gi a các biế n đổ i dây chuy n
f g X X     , :  , thì đồ ng c u f s s g f f g g      :  là đồ ng luân dây chuy n gi a
f f g g X X    , :  .
Có th th y r ng quan hệ đồ ng luân dây chuy n gi a các biế n đổ i dây chuy n t
ph c X t i ph c X  là m t quan hệ tư ơ ng đư ơ ng.
Đị nh nghĩa 1.1.2.3
Cho X X ,  là các ph c, biế n đổ i dây chuy n f X X :   đư ợ c g i là m t tư ơ ng
đư ơ ng dây chuyề n n u t n t i biế n đổ i dây chuy n h X X :   và các đồ ng luân dây
chuy n : 1
X
s hf  và : 1
X
t fh  
.
Hai ph c X và X  mà có mộ t tư ơ ng đư ơ ng dây chuyề n gi a chúng f X X :  
thì đư ợ c g i là hai ph c tư ơ ng đư ơ ng đồ ng luân v i nhau và ta vi t: X X   .
Hi n nhiên r ng, quan hệ tư ơ ng đư ơ ng đồ ng luân gi a các ph c là m t quan h
tư ơ ng đư ơ ng. Nó thự c hi n s phân ho ch l p các ph c thành l p các b ph n, m i b
ph n g m nh ng phứ c tư ơ ng đư ơ ng đồ ng luân.
1.1.3 Các hàm tử đồ ng điề u
Đị nh nghĩa 1.1.3.1
Cho ph c   , X X  
n n
, đồ ng điề u H X là họ các mô đun:
 
1 1
n
n
n n
Ker
H X
  X



(1.2)
Mô đun thư ơ ng H X n   đư ợ c g i là mô đun đồ ng điề u th n c a ph c X.
Các ph n t củ a mô đun con Ker
n
 đư ợ c g i là các chu trình n – chi u, còn các ph n
t củ a mô đun con 
n n   1 1 X đư ợ c g i là các b n – chi u. Khi đó H X n   là mô đun
thư ơ ng củ a mô đun các chu trình theo mô đun con các bờ . L p ghép c a chu trình c- 6 -
trong H X n   đư ợ c vi t là clsc hay  c .
Ta nói r ng các chu trình n – chi u c và c thu c cùng m t lớ p đồ ng điề u
  clsc clsc   là đồ ng điề u v i nhau   c c   ; điề u này x y ra khi và ch khi
n 1
c c X     .
Cho các ph c   , X X  
n n
,   , X Xn n
     và f X X :   là m t biế n đổ i dây
chuy n. Từ đó vớ i m i s nguyên n, ánh x       : H f H X H X n n n   , mà
H f c X f c X n n n        
  1 1     hay H f clsc cls f c
n         , là mộ t đồ ng c u
đư ợ c c m sinh b i biế n đổ i dây chuy n f. D dàng kiể m tra để th y rằ ng, các đồ ng c u
c m sinh này th a các h th c:   1 1
n
Hn X H  và       . H gf H g H f
n n n  . Do v y,
v i m i n , Hn
tr thành m t hàm t hi p bi n t ph m trù các ph c và các bi n
đổ i dây chuy n t i phạ m trù các mô đun, tư ơ ng ứ ng m i ph c X vớ i mô đun đồ ng điề u
H X n   và tư ơ ng ứ ng v i m i biế n đổ i dây chuy n f X X :   vớ i đồ ng c u
      : H f H X H X n n n   .
Ta g i chúng là các hàm tử đồ ng điề u. Liên quan t i các hàm tử đồ ng điề u Hn
ta có:
Đị nh lí 1.1.3.2
N u f g X X , :   là các bi n đổ i đồ ng luân dây chuy n t ph c X t i ph c X 
thì v i m i n ta có:         : H f H g H X H X n n n n    .
H qu 1.1.3.3
N u f X X :   là mộ t tư ơ ng đư ơ ng dây chuyề n thì v i m i n , đồ ng c u
      : H f H X H X n n n   là đẳ ng c u.
1.1.4 Đố i đồ ng điề u
Cho ph c   , X X  
n n
các mô đun và G là mộ t mô đun. Ta xây d ng nhóm aben
  , Hom X Gn
mà các ph n t củ a nó là các đồ ng cấ u mô đun :
n
f X G  ; sẽ đư ợ c g i- 7 -
là các đố i dây chuy n n – chi u c a ph c X. Đố i b củ a đồ ng c u f đó là đố i dây
chuy n (n + 1) – chi u:
   
1
1 1
1 . :
n
n
n n  f f X G

     
D th y
1
. 0
n n
 

 nên dãy
     
1
1 1
, , , .
n n
Hom X G Hom X G Hom X G n n n
 

     
là ph c h p các nhóm aben, đư ợ c g i là Hom X G   , ; hơ n nữ a theo như thông lệ m i
m t nhóm sẽ đư ợ c vi t theo ch s trên:   , ,  
n
Hom X G Hom X G  n
. N u ph c X là
dư ơ ng theo chỉ số dư ớ i thì ph c Hom X G   , là dư ơ ng theo chỉ s trên.
Đị nh nghĩa 1.1.4.1
Đồ ng điề u c a ph c Hom X G   , đư ợ c g i là đố i đồ ng điề u c a ph c X v i h s
trong G. Đó là họ các nhóm aben đư ợ c đánh số theo ch s trên:
     
  1
, ,
,
n
n n
n
H X G H Hom X G Ker
Hom X G



  (1.3).
Các ph n t c a
n
Ker đư ợ c gọ i là đố i chu trình n – chi u, còn các ph n t c a
  1
, Hom X G n 

đư ợ c gọ i là đố i b n – chiề u. Như vậ y mộ t đố i chu trình n – chi u là
mộ t đồ ng c u :
n
h X G  sao cho h  0.
M i biế n đổ i dây chuy n f X X :   c m sinh biế n đổ i dây chuy n
Hom f Hom X G Hom X G       ,1 : , ,   mà v i m i s nguyên n ta có:
      ,1 : , , :
n
Hom f Hom X G Hom X G f   n
   .
Để ý thêm r ng, biế n đổ i dây chuy n Hom f   ,1 s c m sinh, v i m i n ,
đồ ng c u    
*
: , ,
n n
f H X G H X G   mà:
     
*
1 1
, ,
n n
f c Hom X G cf Hom X G  
       hay    
*
f clsc cls cf  (1.4).
Hơ n nữ a, v i b t kì ph c X thì m i đồ ng c u h G G :   c m sinh biế n đổ i dây- 8 -
chuy n Hom h Hom X G Hom X G       1, : , ,   mà v i m i s nguyên n ta có:
      1, : , , :
n
Hom h Hom X G Hom X G h      .
Tư ơ ng tự , biế n đổ i dây chuy n Hom h   1, s c m sinh, v i m i n , đồ ng c u
*
: , ,    
n n
h H X G H X G   mà:
* 1       1
, ,
n n
h c Hom X G hc Hom X G  
       hay h clsc cls hc
*      (1.5).
Vì v y Hom X G   , và   ,
n
H X G là các song hàm t , hi p bi n theo G và ph n
bi n theo X.
Mệ nh đề 1.1.4.2
N u s f g :  là đồ ng luân thì bằ ng cách đặ t  
1
1 *
1
n
n
n
t s
 
  ta có đồ ng luân
* *
t f g :  .
Mệ nh đề 1.1.4.3
N u X X,  là hai phứ c tư ơ ng đư ơ ng đồ ng luân thì các ph c nhóm aben
Hom X G Hom X G     , , , cũng tư ơ ng đư ơ ng đồ ng luân.
Mệ nh đề 1.1.4.4
N u X X,  là hai phứ c tư ơ ng đư ơ ng đồ ng luân thì v i m i n ta có đẳ ng c u
nhóm giữ a các nhóm đố i đồ ng điề u:     , ,
n n
H X G H X G   .- 9 -
§2. XÂY D NG HÀM T EXT TRONG PH M TRÙ
MÔ ĐUN
Có nhữ ng cách khác nhau để xây d ng hàm t
n
Ext (m t trong hai tr c t c a hàm s
đồ ng điề u), tuy nhiên ở đây ta chỉ trình bày phép d ng hàm t này b ng phép gi i x
nh. Vì v y, chúng ta s bắ t đầ u b ng các khái ni m và tính ch t v phép gi i xạ ả nh.
1.2.1 Phép gi i xạ ả nh
Đị nh nghĩa 1.2.1.1
Cho A là mộ t mô đun tùy ý, ta g i phép gi i xạ ả nh c a A là m t dãy kh p các
mô đun xạ ả nh và các đồ ng c u:
1 1 0
0 X X X X A n n
         
(1.6)
Nói riêng, n u Xn
là mô đun tự do ( t.ư . mô đun xạ ả nh) v i m i n  0 thì (1.6)
đư ợ c g i là m t phép gi i tự do (t.ư . phép giả i xạ ả nh) củ a mô đun A.
Từ “tính đủ nhi u củ a các mô đun tự do”, nghĩa là “mỗ i mô đun X đẳ ng c u v i
mô đun thư ơ ng củ a m t mô đun tự do nào đó”, ta có đị nh lí sau khẳ ng đị nh s t n t i
c a phép gi i xạ ả nh.
Đị nh lí 1.2.1.2
M i mô đun A đề u có m t phép gi i t do.
Theo đị nh lí 2.1.3 ta đã chứ ng minh đư ợ c s t n t i phép gi i xạ ả nh củ a mô đun
A. Sau đây chúng ta sẽ ch ng t tính duy nh t c a phép gi i xạ ả nh, theo nghĩa hai
phép gi i xạ ả nh b t kì c a cùng mộ t mô đun A đề u tư ơ ng đư ơ ng đồ ng luân. Ta có
đư ợ c điề u này nh các mệ nh đề sau:
Mệ nh đề 1.2.1.3
Cho h A B :  là đồ ng c u củ a mô đun A vào mô đun B bấ t kì và
1 1 0
0 X X X X A n n
         
là m t phép gi i xạ ả nh b t kì c a A,