Thạc Sĩ Hàm phân hình chung nhau các tập hợp với điều kiện CM và IM

Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số kiến thức chuẩn bị 3
1.1. Phân bố giá trị cho các hàm phân hình . 3
1.1.1. Công thức Poison-Jensen . 3
1.1.2. Các hàm Nevanlinna và tính chất 5
1.1.3. Hai định lý cơ bản . 7
1.1.4. Định lý cơ bản thứ hai cho các hàm nhỏ . 9
1.2. Điều kiện CM* và IM* 11
1.2.1. Khái niệm về điều kiện IM*, CM* 11
1.2.2. Một số tính chất của các hàm Nevanlinna 14
2 Hàm phân hình chung nhau hàm nhỏ với điều kiện CM*,
IM* 18
2.1. Các hàm phân hình chung nhau bốn giá trị . 18
2.1.1. Định lý bốn điểm với điều kiện CM* 18
2.1.2. Hàm phân hình chung nhau bốn giá trị . 21
2.2. Các hàm phân hình chung nhau các cặp hàm nhỏ 33
2.2.1. Một số kết quả mở đầu 33
2.2.2. Kết quả của P. Li và C.C. Yang . 35
Kết luận 45
Tài liệu tham khảo 471
Mở đầu
Năm 1929, R. Nevanlinna chứng minh hai định lí nổi tiếng về vấn đề duy
nhất cho các hàm phân hình, thường được gọi là Định lý năm điểm và Định
lý bốn điểm. Về sau có rất nhiều nhà toán học đã mở rộng những kết quả
của Nevanlinna cho những trường hợp khác nhau: hàm phân hình chung
nhau các tập điểm, kể cả bội, không kể bội,
Cho f, g là các hàm phân hình, ta nói f và g chung nhau một giá trị a
CM (hoặc IM) nếu f ư a, g ư a có cùng không điểm kể cả bội (hoặc không
kể bội)
1
. Nếu 1/f và 1/g chung nhau giá trị 0 CM (IM) thì ta nói rằng f
và g chung nhau giá trị ∞ CM (IM). Hiển nhiên, hai hàm f và g chung
nhau giá trị a CM thì cũng chung nhau giá trị a IM.Định lý năm điểm cho
thấy nếu f và g chung nhau ảnh ngược của năm giá trị phân biệt thì đồng
nhất bằng nhau. Nếu hai hàm phân hình chung nhau bốn điểm kể cả bội
thì chúng là phép biến đổi Mobius của nhau là nội dung chính của định lý
bốn điểm.
Gần đây, P. Li và C. C. Yang đã giới thiệu khái niệm các hàm chung nhau
nhau hàm nhỏ CM*, IM* là các điều kiện "nhẹ" CM và IM tương ứng và
các tác giả viết lại trong cuốn sách Unicity of Meromorphic Mappings
([4]). Cũng trong ([4]), các tác giả nghiên cứu lại định lý năm điểm và định
lý bốn điểm dưới điều kiện IM*, CM* và thấy rằng các định lý này vẫn còn
đúng dưới điều kiện IM* và CM* tương ứng. Trong thời gian gần đây cũng
có một số tác giả giới thiệu các công trình về vấn đề duy nhất cho các hàm
phân hình chung nhau các giá trị, hàm nhỏ hoặc các cặp hàm nhỏ CM*,
1
CM là viết tắt của counting multiplicities nghĩa là kể cả bội, IM là viết tắt của ignoring multiplicities nghĩa là không
kể bội.2
IM*.
Với mong muốn tìm hiểu về vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình
chung nhau các giá trị, hàm nhỏ hoặc các cặp hàm nhỏ CM*, IM*, chúng
tôi chọn đề tài "Hàm phân hình chung nhau các tập hợp với điều
kiện CM* và IM*". Mục đích chính của luận văn giới thiệu một số kết
quả về định lý 4 điểm và các mở rộng của định lý này trong các trường hợp
các hàm phân hình chung nhau các giá trị hay các hàm nhỏ với điều kiện
IM*, CM* được P. Li và C. C. Yang trình bày trong ([4]). Chứng minh một
số kết quả về quan hệ biến đổi Mobius của hai hàm phân hình khi chúng
chung nhau các cặp hàm nhỏ với điều kiện IM*, CM* được P. Li và C. C.
Yang trình bày trong ([13]).
Luận văn chia thành hai chương:
Chương 1: Giới thiệu về một số kiến thức cơ bản sử dụng trong luận
văn và giới thiệu khái niệm các hàm phân hình chung nhau các giá trị, các
hàm nhỏ và các cặp hàm nhỏ với điều kiện IM*, CM*.
Chương 2: Chứng minh định lý 4 điểm và các mở rộng của định lý này
trong các trường hợp các hàm phân hình chung nhau các giá trị hay các
hàm nhỏ với điều kiện IM*, CM* và chứng minh một số kết quả về quan
hệ biến đổi Mobius của hai hàm phân hình khi chúng chung nhau các cặp
hàm nhỏ với điều kiện IM*.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác Giả
Đào Tuấn Anh