Thạc Sĩ Hàm nhiều biến và cực trị của Hàm

LỜI NÓI ĐẦU




HÀM NHIỀU BIẾN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM​

Toán học nói chung và toán giải tích nói riêng có những ứng dụng đa dạng trong nhiều ngành khoa học khác nhau, đặc biệt trong khoa học kinh tế. Các nghiên cứu và phân tích kinh tế về mặt định lượng thường được tiến hành thông qua các mô hình kinh tế toán (dùng toán học để mô tả, phân tích các mối quan hệ, các quá trình hay đối tượng kinh tế). Vì thế các nhà nghiên cứu kinh tế ngày càng có nhu cầu sử dụng nhiều hơn các công cụ toán học, đặc biệt là công cụ giải tích (như hàm số, đạo hàm, vi phân) và các phương pháp tối ưu hoá.

Đề tài luận văn đề cập tới những kiến thức toán giải tích và tối ưu hoá cơ bản cần dùng trong kinh tế. Việc tìm hiểu những kiến thức này là hoàn toàn cần thiết và hữu ích, giúp hiểu sâu hơn về các công cụ toán giải tích, tối ưu hoá và vận dụng tốt hơn trong thực tiễn giảng dạy toán cho các đối tượng kinh tế.

Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu và trình bày khái quát những kiến thức toán học cơ bản cần dùng trong các nghiên cứu kinh tế, đặc biệt trong nghiên cứu lý thuyết kinh tế vi mô (micro-economic theory). Các nội dung đề cập tới trong luận văn được trình bày không quá hình thức mà gần gũi với tư duy kinh tế, với nhiều ví dụ minh hoạ cụ thể và có giải thích ý nghĩa kinh tế khi có thể, nhưng vẫn giữ tính chính xác, chặt chẽ về mặt toán học.

Nội dung luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1 “Kiến thức chuẩn bị” giới thiệu tóm tắt một số khái niệm cơ bản về tập hợp và ánh xạ, quan hệ và hàm số: tập mở, tập đóng, tập compact trong Rn; cận trên (cận dưới) của tập hợp số thực; tính liên tục của ánh xạ, mối quan hệ giữa tính liên tục với ảnh ngược của các tập mở (đóng), ảnh liên tục của tập compact; định lý Weierstrass về tồn tại giá trị cực trị của hàm liên tục trên tập compact; tập lồi và tính chất, định lý Minkowski về tách các tập lồi .


Chương 2 “Hàm giá trị thực” đề cập tới các hàm số thực thường gặp trong kinh tế và một số tập có liên quan mật thiết với hàm: đồ thị, tập mức, tập mức trên, tập mức dưới. Xét tính tăng (giảm), tính lồi (lõm), tính lồi chặt (lõm chặt), độ dốc, độ cong và mối liên hệ với các tập mức, với đạo hàm và vi phân của hàm số, hàm thuần nhất và tính chất .

Chương 3 “Bài toán tối ưu” trình bày khái quát vấn đề cực trị của hàm số: cực trị địa phương và cực trị toàn cục, cực trị tự do và cực trị có điều kiện, điều kiện cần, điều kiện đủ của cực trị (cấp 1 và cấp 2). Tính duy nhất của điểm cực tiểu (cực đại) liên quan với tính lồi (lõm) chặt. của hàm. Cực trị với ràng buộc đẳng thức (phương pháp Lagrange), với ràng buộc không âm và tổng quát hơn là với ràng buộc bất đẳng thức (điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (điều kiện KKT) .

Do thời gian có hạn nên luận văn này mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các nội dung chính theo chủ đề đặt ra. Trong quá trình viết luận văn cũng như trong xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi có những sai sót nhất định. Tác giả luận văn rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn

GS-TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thày, cô của Trường Đại học Sư phạm
Thái Nguyên và Viện Toán học đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.




MỤC LỤC Trang

LỜI NÓI ĐẦU 3

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Tập hợp lồi trong RN 5

1.2. Quan hệ và hàm số 7

1.3. Tô pô trong RN 10

1.4. Tính liên tục 17

1.5. Định lí tồn tại 20

Chương 2: HÀM GIÁ TRỊ THỰC 23

2.1. Hàm số thực và các tập có liên quan 23

2.2. Một số hàm thông dụng 26

2.2.1. Hàm lồi và hàm tựa lồi 27

2.2.2. Hàm lõm và hàm tựa lõm 29

2.3. Vi phân của hàm số 30

2.3.1. Hàm một biến 31

2.3.2. Hàm nhiều biến 32

2.3.3. Hàm thuần nhất 36

Chương 3: BÀI TOÁN TỐI ưU 40

3.1. Cực trị của hàm số 40

3.2. Tối ưu không ràng buộc 41

3.3. Tối ưu có ràng buộc 48

3.3.1. Ràng buộc đẳng thức 49

3.3.2. Ràng buộc không âm 59

3.3.3. Điều kiện Karush- Kuhn- Tucker 61

KẾT LUẬN 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO 67