Thạc Sĩ Hàm lồi vectơ và ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/

iii
MỤC LỤC

Lời cam đoan i
Lời cảm ơn . ii
Mục lục . iii
MỞ ĐẦU . 1
Chương 1: HÀM LỒI VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG . 3
1.1. Định nghĩa tập lồi, các hàm lồi và các tính chất . 3
1.1.1. Tập lồi 3
1.1.2. Hàm lồi 5
1.2. Tính liên tục 6
1.3. Tính liên tục Lipschitz 8
1.4. Hàm liên hợp 9
1.4.1. Phép biến đổi Young - Fenchel 9
1.4.2. Tính chất của hàm liên hợp . 10
1.5. Dưới vi phân . 12
Chương 2: HÀM LỒI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG . 18
2.1. Giới thiệu 18
2.2. Định nghĩa, các khái niệm và kết quả bổ trợ 19
2.3. Tính liên tục 24
2.4. Các đặc trưng của hàm lồi 31
2.5. Dưới vi phân của hàm lồi vectơ . 37
2.6. Ánh xạ lùi xa . 42
2.7. Một số ứng dụng . 51
KẾT LUẬN . 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 58


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/

1
MỞ ĐẦU
Giải tích lồi là một trong những môn toán được quan tâm và phát triển
mạnh mẽ của toán học. Nó được sử dụng rộng rãi trong tối ưu hóa, vận trù học,
kinh tế, giao thông, ngân hàng và nhiều lĩnh vực khác nữa. Nhiều bài toán trong
thực tế và trong kỹ thuật có thể được quy về việc tìm
 
x D
Min f x , (1)
trong đó D là tập con của không gian vectơ X ,   f : D .
1) Nếu f là tuyến tính và D là đa diện lồi, thì bài toán (1) được gọi là bài
toán qui hoạch tuyến tính và đã có những phương pháp giải rất hoàn hảo như
phương pháp đơn hình của Danzig, thuật toán Khachian, Kamakar.
2) Nếu f là hàm lồi và D là tập lồi thì bài toán (1) là bài toán qui hoạch
lồi và đã được nhiều tác giả nghiên cứu đưa ra các phương pháp giải hữu hiệu
như Rockafellar, Wolfe, Frechel và Meaureau .
Mặt khác, một vấn đề đặt ra là: lớp các hàm lồi trong không gian Banach
có các tính chất:
a) Nó ổn định dưới dạng tổng hữu hạn và tổng súp hữu hạn.
b) Điều kiện tối ưu   0 f x   trong đó f là dưới vi phân cổ điển là
điều kiện cần cho x là cực tiểu địa phương .
c) Đẳng thức xảy ra đối với phép lấy tổng dưới vi phân
       1 2 1 2
f f x f x f x       .
d) Tính chất: Nếu     1 2
f x f x    với mọi x X  khi đó
1 2
f f  là hằng số.
Mục đích của luận văn là giới thiệu một số tính chất cơ bản của lớp hàm lồi
vô hướng và hàm lồi vectơ . Đó là: Tính liên tục, tính Lipschitz địa phương, tính
khả dưới vi phân và ứng dụng của chúng.
Luận văn có nhan đề: Hàm lồi vec tơ và ứng dụng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/

2
Chương 1 của luận văn giới thiệu lại những kiến thức cơ bản của giải tích
lồi. Chương 2 trình bày những mở rộng các tính chất, kết quả của hàm lồi vô
hướng cho hàm vectơ lồi theo nón. Trong các không gian tô pô tuyến tính nói
chung chưa có khái niệm thứ tự. Để tạo ra được thứ tự trong các không gian
này, người ta đưa vào khái niệm nón: Cho Y là không gian vectơ tô pô, tập
C Y được gọi là nón nếu tC C  với mọi t  0.
Nếu C là tập lồi, đóng,     C C    0 thì C được gọi là nón lồi đóng
nhọn. Ta định nghĩa   C x,y X , x y nếu x y C   . Khi ấy,  C là một quan
hệ thứ tự từng phần. Dựa vào thứ tự này ta định nghĩa hàm vectơ lồi như sau:
Cho D X  là tập lồi khác rỗng, Y là không gian vectơ tô pô, ta nói
F : D Y là hàm vectơ lồi nếu
                   C F x y F x F y 1 1 , với mọi x,y D, ;     
  0 1 .
Ta sẽ nghiên cứu các tính chất liên tục theo nón, tính khả dưới vi phân
theo nón của hàm lồi và các ứng dụng của nó trong luận văn.













Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/

3
Chương 1
HÀM LỒI VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

Trong những năm gần đây giải tích lồi là một trong những môn học phát
triển và ứng dụng mạnh mẽ trong các bài toán ứng dụng vào thực tế như : toán
tối ưu, toán vận trù học, toán kinh tế và trong các ngành kỹ thuật. Mục đích của
chương này là giới thiệu các khái niệm cơ bản của tập lồi, hàm lồi, các tính
chất: liên tục, Lipschitz địa phương, tính khả dưới vi phân của hàm lồi và ứng
dụng trong lý thuyết tối ưu.

1.1. Định nghĩa tập lồi, các hàm lồi và các tính chất
1.1.1. Tập lồi

Cho X là không gian tô pô thực, X* là không gian tô pô đối ngẫu của X, 
là tập số thực, ký hiệu        .
Trước hết ta nhắc lại, định nghĩa tập lồi được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.1.1.1. Tập A X  là tập lồi nếu ,a b A   với mọi
  0;1 : 1 a b A         
  .
Tập A X  với mọi ,a b A   đoạn thẳng nối a,b được xác định
    , : 1 ; 0 1 a b x A x a b            
  .
Nhận xét 1.1.1.2. Tập A là tập lồi khi và chỉ khi với mọi ,a b A  thì
,a b A   
  .
Dưới đây, là những ví dụ về tập lồi thường gặp

Định nghĩa 1.1.1.3. Cho
*
, f X   là một số thực cố định
Tập     : H x X f x     gọi là một siêu phẳng;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/

4
    : H x X f x
     gọi là nửa không gian trên;
    : H x X f x
     gọi là nửa không gian dưới.
Tất cả các tập trên đều là tập lồi.
Tiếp theo, ta nhắc lại các khái niệm khác liên quan tới tập lồi

Định nghĩa 1.1.1.4. Cho . A X 
i) Giao của tất cả các tập lồi chứa tập A được gọi là bao lồi của A

1
: , 1,2, .,
n
i i i
i
coA x X x x x A i n

 
       
 
 ;
ii) Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa tập A được gọi là bao lồi đóng của A,
ký hiệu là co A .
Mệnh đề 1.1.1.5. Giả sử A X  là một tập lồi, khi đó
i) Phần trong int A và bao đóng A là các tập lồi;
ii) Với
1 2
x int A , x A   thì x ,x int A   
  1 2
;
iii) Nếu int A  thì A int A , int A int A   .
Khái niệm tách các tập lồi, đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết
tối ưu.

Định nghĩa 1.1.1.6. Cho các tập A,B X  ta nói phiếm hàm tuyến tính liên
tục 0 f  tách A và B nếu tồn tại một số  sao cho
f ,y f ,x    với mọi x A  , với mọi y B  ; (1.1)
Trong đó,   f ,x f x  là tích vô hướng giữa X và *
X .
Nếu các bất đẳng thức ở (1.1) là thực sự, tức là
f ,y f ,x    với mọi x A, y B  
thì ta nói f tách chặt A và B.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/

5
Siêu phẳng   H x X : f ,x     gọi là siêu phẳng tách A và B. Các
tập A, B được gọi là tách được.

Nhận xét 1.1.1.7. i) Bất đẳng thức (1.1) tương đương với bất đẳng thức
f ,y f ,x , x A, y B      ;
ii) Phiếm hàm 0 f  tách chặt A và B, nếu tồn tại số 0   sao cho
f ,y f ,x   , x A, y B     .

Định lý 1.1.1.8.  
 1 Cho A và B là các tập lồi trong X, A B    , hoặc
int A   hoặc intB  . Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục
0 f , f X   tách A và B.

Hệ quả 1.1.1.9.  
 1 Cho A,B là các tập lồi trong X, int A  0 khi đó A, B tách
được khi và chỉ khi   int A B   .
Định lý 1.1.1.10.  
 1 Giả sử A là tập lồi đóng trong không gian lồi địa phương
X và x A 
0
khi đó tồn tại *
f X , f   0 tách chặt A và x
0
.

Hệ quả 1.1.1.11. Cho X là không gian Hausdorff lồi địa phương A X  ta có
i) co A trùng với giao của tất cả các nửa không gian chứa A;
ii) Nếu A là tập lồi khi đó A đóng khi và chỉ khi A đóng theo tô pô yếu.

1.1.2. Hàm lồi

Cho A X  là tập lồi f : A   .

Định nghĩa 1.1.2.1. Hàm f được gọi là hàm lồi nếu với mọi x,y A  với mọi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/

6
          , : f x y f x f y        
  0 1 1 1
    
. (1.3)
Nếu (1.3) xảy ra thực sự x y   thì f lồi chặt trên A.

Định nghĩa 1.1.2.2. i) Trên đồ thị của hàm f ký hiệu
   epif x, A /

   sao cho    x A : f x

  ;
ii) Tập mức tại  

của hàm f là tập
      lev f , x A : f x
 
   ;
iii) Miền hữu hiệu của hàm f ký hiệu là domf
    domf= x A : f x    ;
iv) Hàm f được gọi là hàm chính thường nếu
domf   và   f x   với x X   ;
v) Hàm f được gọi là lõm trên A nếu f là hàm lồi trên A.

Mệnh đề 1.1.2.3. Hàm số f được gọi là hàm lồi trên A nếu và chỉ nếu một
trong các điều kiện sau được thỏa mãn
i) epif là tập lồi;
ii)   lev f g,

 là tập lồi g X   trong đó        f g x f x g x    .

Nhận xét 1.1.2.4. i) Nếu f là một hàm lồi thì domf là tập lồi;
ii) Nếu f là một hàm lồi thì :         x : f x , x : f x
 
  là các tập lồi
,
     
  .
Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ định nghĩa.

1.2. Tính liên tục

Trước hết, ta nhắc lại định nghĩa hàm số liên tục.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/

7
Hàm số :   f D được gọi là liên tục nếu 
n
x x, thì     
n
f x f x .

Định nghĩa 1.2.1. i) Bao đóng của hàm f là một hàm ký hiệu clf
epi clf epif  ;
ii) Bao lồi đóng của hàm f là một hàm ký hiệu cof
  epi cof coepif  ;
iii) Hàm f được gọi là đóng nếu epif là tập đóng trong X x  ;
iv) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x X  nếu
   
y x
f x lim inf f y

 ;
v) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x X  nếu
   
y x
f x lim sup f y

 ;
vi) Hàm f được gọi là liên tục tại x X  nếu f là nửa liên tục trên và nửa liên
tục dưới tại x; Hàm f được gọi là hàm liên tục nếu nó đồng thời vừa liên tục
trên và liên tục dưới;
vii) Hàm f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x X  .

Nhận xét 1.2.2. 
 1 Các khẳng định sau đây là đúng.
i) Hàm f là lồi thì clf cũng là lồi;
ii) Hàm f là đóng khi và chỉ khi f clf  .

Mệnh đề 1.2.3. Hàm f là đóng khi và chỉ khi
        lev f , x : f x
 

là tập đóng với

  .