Thạc Sĩ Hàm lồi (a,E1,E2) lồi trên tập (a,E1,E2) lồi – tối ưu hàm E-lồi

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
NĂM 2011

MỤC LỤC
Trang
Mục lục .
Lời nói đầu .

Chương I. Tập (a, E1, E2 )-lồi .
1.1. Tập ( a, E ,E -lồi)
1.2 Các ví dụ . 8
1.3 Các tính chất của tập (a, E1, E2 )-lồi 12
Chương II. Hàm (a, E1, E3 )-lồi . 30
2.1 Hàm (a, E1, E3 )-lồi . 30
2.1.1 Định nghĩa hàm (a, E1, E3 )-lồi 30
2.1.2 Các ví dụ 33
2.1.3 Các tính chất hình học-đại số của hàm (a, E1, E2 )-lồi 36
2.2. Hàm (a, E1, E3 )-tựa lồi 49

Chương 3: Tối ưu hàm E-lồi . 58
3.1 Bài toán tối ưu một mục tiêu với hàm E-lồi 58
3.2 Một số kết quả cho bài toán ( E P ) . 59
3.3 Một số kết quả cho bài toán ( E P ) . 63
Kết luận 69
Tài liệu tham khảo 7 0



LỜI NÓI ĐẦU
Sau khi lý thuyết qui hoạch tuyến tính được hoàn thiện vào những năm 50 của
thế kỉ trước, với nội dung cơ bản là thuật toán đơn hình của G. B. Dantzig, giải tích
lồi đã được xây dựng và đóng vai trò quan trọng trong giải quyết các bài toán tối ưu
lồi nói riêng và tối ưu phi tuyến nói chung. Mặc dù cho tới nay, nhiều nghiên cứu về
giải tích lồi vẫn còn đang được tiến hành, nhưng có thể nói giải tích lồi đã trở thành
lí thuyết hoàn chỉnh vào những năm 70 của thế kỉ trước với những cuốn sách kinh
điển như Convex Analysis của R. T. Rockafellar (1970) và Nonlinear Programming
của O. L. Mangasarian (1967), .
Mặc dù là công cụ mạnh để giải quyết các bài toán tối ưu phi tuyến, nhiều
bài toán thực tế vẫn không thể mô tả bởi các hàm lồi trên các tập lồi. Vì vậy,
ngay trong giải tích lồi, các nhà toán học đã cố gắng mở rộng khái niệm hàm
lồi. Bằng cách giữ lại một trong các tính chất cơ bản của hàm lồi làm định
nghĩa hoặc tính chất cơ bản, lớp các hàm lồi suy rộng (hàm tựa lồi, hàm giả
lồi, hàm lồi bất biến, ) đã được nghiên cứu sâu về mặt toán học và được áp
dụng hiệu quả trong các bài toán thực tế.
Một trong những suy rộng của hàm lồi được một số nhà nghiên cứu quan
tâm trong khoảng mười năm trở lại đây là lớp hàm E-lồi do Ebrahim A.
Youness đề xuất năm 1999 (xem [14]). Khái niệm hàm E-lồi là mở rộng khá
tự nhiên của lớp hàm lồi.
Trong luận văn này chúng tôi bước đầu nghiên cứu một lớp hàm mới là
lớp hàm (a, E1, E3)-lồi trên tập (a, E1, E2 )-lồi. Khái niệm (a, E1, E2 )-lồi cho
phép thống nhất một số khái niệm trong giải tích E-lồi (tập E-lồi, tập E-lồi
mạnh, hàm E-lồi, hàm E-lồi mạnh, hàm semi hàm E-lồi, ).
Bố cục luận văn gồm phần Mở đầu, Ba chương và Tài liệu tham khảo.
Chương 1: Tập (a, E1, E2 )-lồi.
Chương 2: Hàm (a, E1, E3 ) -lồi.
Chương 3: Tối ưu hàm E-lồi.
Mặc dù những nghiên cứu trong luận văn mới chỉ ở dạng phác thảo, theo
cảm nhận của chúng tôi, một số kết quả trong luận văn đã cho phép nhìn lại
một số nghiên cứu về lớp hàm E-lồi, vì vậy khái niệm (a, E1, E2 )-lồi có lẽ
cũng đáng được quan tâm.