Thạc Sĩ Hàm Green đa phức và xấp xỉ các hàm chỉnh hình

MỞ ĐẦU



1. Lý do chọn đề tài

Lý thuyết đa thế vị phức được phát triển từ những năm 80 của thế kỷ trước dựa trên các công trình cơ bản của Bedford-Taylor, Siciak, Zahaziuta và nhiều tác giả khác. Đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết này là hàm Green đa phức hay hàm cực trị toàn cục. Hàm Green đa phức với những điểm kỳ dị hữu hạn đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như M.Klimek, J.P. Demailly , E.A. Poletsky, A. Zeriahi, .). Theo hướng này chúng tôi quan tâm đến hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic, hàm Green đa phức với cực logarit tại vô cùng trên đa tạp con đại số và trên một đa tạp siêu lồi, đồng thời sử dụng các kết quả đạt được cho việc xấp xỉ các hàm chỉnh hình. Vì thế chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: “Hàm Green đa phức và xấp xỉ các hàm chỉnh hình ”
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1. Mục đích nghiên cứu

Trình bày các kết quả của Zeriahi về hàm Green đa phức và xấp xỉ các hàm chỉnh hình.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung nghiên cứu về:

- Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic.

- Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên đa tạp con đại số.

- Hàm Green đa phức với cực logarit trên đa tạp siêu lồi.

- Áp dụng các kết quả đạt được để xấp xỉ các hàm chỉnh hình.

3. Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, chúng tôi đã đọc tham khảo các tài liệu trong và ngoài nước, tham khảo và học tập các chuyên gia cùng lĩnh vực nghiên cứu. Đồng thời kế thừa các kết quả và phương pháp của M.Klimek, J.P. Demailly , E.A. Poletsky, A. Zeriahi, . để giải quyết các vấn đề đã nêu ra ở trên.
4. Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số kết quả, những tính chất quan trọng nhất về

Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic. Đó là sự


khái quát hoá tự nhiên định nghĩa của hàm cực trị Siciak - Zahariuta trong

£ N .


Tiếp theo, chúng tôi trình bày nghiên cứu về hàm Green đa phức với cực logarit tại vô cùng trên đa tạp con đại số và trên một đa tạp siêu lồi.
Trong chương 2, chúng tôi trình bày việc mở rộng một vài dạng cổ điển


của lý thuyết đa thế vị trong £ N


cho trường hợp của đa tạp con đại số X của


£ N . Chứng minh một vài bất đẳng thức đa thức đã biết giống như bất đẳng thức Bernstein –Markov và sử dụng chúng để trình bày một phép chứng minh mới tiêu chuẩn địa phương Sadullaev về tính đại số của đa tạp con giải tích. Tiếp theo chúng tôi trình bày định lý Berstein- Walsh về xấp xỉ đa thức tốt nhất của các hàm chỉnh hình trên một tập con compact không đa cực K của đa tạp X và sử dụng nó, cùng với bất đẳng thức Bernstein-Markov để nghiên cứu các đa thức trực chuẩn. Đặc biệt, chúng tôi chứng minh rằng nếu K là tập compact L - chính qui, thì các đa thức trực chuẩn làm thành một cơ sở Schauder trong


không gian các hàm chỉnh hình trên những miền mức con của hàm Green tương ứng.


Phần cuối cùng của chương này, chúng tôi trình bày việc sử dụng hàm đa phức Green với cực logarit đa trọng trên một đa tạp siêu lồi D để xây dựng hệ trực chuẩn Bergman trong không gian trọng Bergman nào đó. Sau đó chúng tôi chỉ ra rằng hệ Bergman này là một cơ sở Schauder thường trong không gian O (D ) và tất cả các không gian các hàm chỉnh hình trên những miền mức con của hàm Green tương ứng. Hơn nữa, chúng tôi chỉ ra rằng hệ trực chuẩn này
cho một kết quả chính xác của phép xấp xỉ nội suy đối với các hàm chỉnh hình

trên D . Đặc biệt, chúng tôi nhận được một sự mở rộng cho trường hợp đa phức về một kết quả cổ điển của Kadampata và Zahariuta.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.



MỤC LỤC



Trang


MỞ ĐẦU 1

CHưƠNG 1. HÀM GREEN ĐA PHỨC 4

1.1. Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian 4

parabolic.

1.2. Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên đa tạp con đại số. 7

1.3. Các số Lelong đối với hàm đa điều hoà dưới. 10

1.4. Hàm Green đa phức với cực logarit trên đa tạp siêu lồi. 11


CHưƠNG 2. XẤP XỈ CÁC HÀM CHỈNH HÌNH 16

2.1. Bất đẳng thức đa thức trên đa tạp con đại số. 16

2.2. Định lí Bernstein - Walsh trên đa tạp con đại số. 20

2.3. Tiêu chuẩn đại số đối với đa tạp con giải tích. 22

2.4. Đa thức trực chuấn trên đa tạp con đại số . 29

2.5. Hệ trực chuẩn Bergman trên miền siêu lồi. 33

2.6. Hệ Bergman là một cơ sở Schauder trong không gian các 40 hàm chỉnh hình.

KẾT LUẬN 50


TÀI LIỆU THAM KHẢO 51