Luận Văn Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm hữu hiệu trong các bài toán tối ưu véc tơ có tham số

VIỆN TOÁN HỌC
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu
HÀ NỘI - 2011

Mục lục
Mở đầu 5
Chương 1. Tính nửa liên tục của nghiệm bài toán tối ưu véctơ nửa vô hạn tổng quát 11
1.1 Các ký hiệu và khái niệm cơ bản . 12
1.2 Tính liên tục của ánh xạ tập ràng buộc 15
1.3 Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm hữu hiệu . 18
1.4 Tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm hữu hiệu 27


Chương 2. Tính giả-Lipschitz của nghiệm bài toán tối ưu véctơ nửa vô hạn lồi 31
2.1 Các khái niệm cơ bản và kết quả bổ trợ 31
2.2 Tính giả-Lipschitz của ánh xạ nghiệm hữu hiệu 37
2.3 Một số ví dụ 48


Chương 3. Đạo hàm trên-đồ-thị Clarke suy rộng của hàm giá trị tối ưu trong tối ưu véctơ 52
3.1 Các khái niệm cơ bản và kết quả bổ trợ 52
3.2 Trường hợp bài toán tối ưu véctơ không có ràng buộc 58
3.3 Trường hợp bài toán tối ưu véctơ có ràng buộc 64


Chương 4. Đối đạo hàm Fréchet của hàm giá trị tối ưu trong tối ưu véctơ 75
4.1 Các khái niệm cơ bản và kết quả bổ trợ 75
4.2 Trường hợp bài toán tối ưu véctơ có ràng buộc tổng quát . 80
4.3 Trường hợp bài toán tối ưu véctơ có ràng buộc thông thường 91


Kết luận 102
Danh mục các công trình của tác giả có liên quan đến luận án 104
Tài liệu tham khảo 105

Mở đầu
Bài toán tối ưu véctơ dạng chuẩn là bài toán tìm cực trị một hàm f : X ! Y ,ở đó X và Y là các không gian véctơ tôpô, dưới một số ràng buộc. Khái niệm cực trị ở đây được xác định theo một thứ tự bộ phận trong không gian Y . Thứ tự này thường được định nghĩa qua một nón lồi K  Y : y1 K y2 , y2y1 2 K: Như vậy, bài toán tối ưu véctơ là sự mở rộng của bài toán quy hoạch toán học, ở đó Y = R và K = R+.
Tối ưu véctơ (Vector optimization) ra đời vào cuối thế kỷ 19, với khái niệm nghiệm được đề xuất bởi F. Y. Edgeworth (1881) và V. Pareto (1896). Mô hình bài toán tối ưu véctơ cho phép nghiên cứu một số vấn đề về phúc lợi xã hội (social welfare) và cân bằng kinh tế (economic equilibrium). Ngoài ra, mô hình này cũng hữu ích trong việc giải quyết những bài toán ra quyết định chứa đựng nhiều lợi ích không tương thích hoặc đối kháng thường gặp trong các vấn đề liên quan đến thiết kế kĩ thuật, môi trường, tài chính, . Tối ưu véctơ là một bộ phận quan trọng của Lý thuyết tối ưu (Optimization theory). Tối ưu véctơ xuất hiện như một chuyên ngành toán học độc lập sau bài báo của H. W. Kuhn
và A. W. Tucker (1951) về các điều kiện cần và đủ cho một véctơ thỏa các ràng buộc là nghiệm hữu hiệu. Đến nay, đã có rất nhiều cuốn sách chuyên khảo về Tối ưu véctơ và ứng dụng: Ehrgott [21], Jahn [28], Luc [34], Sawaragi, Nakayama và Tanino [46], Steuer [48], Zeleny [54], .
ở Việt Nam, tính đến nay, Tối ưu véctơ được quan tâm nghiên cứu đã hơn 30 năm. Các tác giả sau đây đã có nhiều đóng góp cho lý thuyết này: TS. Lâm Quốc Anh, TS. Trương Quang Bảo, PGS. TS. Nguyễn Định, PGS. TS. Trương Xuân Đức Hà, TS. Nguyễn Xuân Hải, TS. Trần Ninh Hoa, TS. Nguyễn Quang Huy, GS. TSKH. Phan Quốc Khánh, PGS. TS. Nguyễn Thị Bạch Kim, GS. TSKH. Đinh Thế Lục, TS. Lê Minh Lưu, PGS. TS. Nguyễn Bá Minh, GS. TSKH. Lê Dũng Mưu, PGS. TS. Trần Huệ Nương, PGS. TS. Tạ Duy Phượng, GS. TSKH. Phạm Hữu Sách, PGS. TS. Phạm Tiến Sơn, GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, TS. Phan Thiên Thạch, PGS. TS. Phan Nhật Tĩnh, TS. Nguyễn Đình Tuấn, TS. Hoàng Quang Tuyến, PGS. TSKH. Hà Huy Vui, GS. TSKH. Nguyễn Đông Yên, . Bên cạnh sự tồn tại nghiệm, điều cần và đủ cực trị, tính chất của tập nghiệm và các thuật toán tìm nghiệm, tính ổn định nghiệm (solution stability/stability analysis) và độ nhạy nghiệm (solution sensitivity/sensitivity analysis) là những
vấn đề cơ bản của lý thuyết Tối ưu véctơ và ứng dụng