Tài liệu giao trình giải tích cơ sở

Tên đề tài : Giáo trình giải tích cơ sở


1. i·u ki»n kh£ tích theo Riemann
N¸u hàm f kh£ tích trên [a, b] theo nghia tích phân xác ành thì ta cung nói f kh£ tích
theo Riemann hay (R)ưkh£ tích.
ành lý 1
Hàm f kh£ tích Riemann trên [a, b] khi và ch¿ khi nó thäa mãn hai ii·u ki»n sau :
i. f bà ch°n.
ii. Tªp các iºm gián o¤n cõa f trên [a, b] có ë o Lebesgue b¬ng 0.
2. ành nghia tích phân theo Lebesgue
Cho không gian ë o (X, F, à) và A 2 F, f : A ư! R là hàm o ưñc
(a) N¸u f là hàm ìn gi£n, không âm trên A và f =
Pn
i=n
ai.1Ai vîi Ai 2 F,Ai Aj =
ø (i 6= j) và
nS
i=1
Ai = A thì ta ành nghia tích phân cõa f trên A theo ë o à bði :
Z
A
fdà :=
Xn
i=n
aià(Ai)
(b) N¸u f là hàm o ưñc, không âm thì tçn t¤i dãy các hàm ìn gi£n, không âm fn
sao cho
fn(x)  fn+1(x), lim
n!1
fn(x) = f(x) 8x 2 A
Khi ó ta ành nghia Z
A
fdà = lim
n!1
Z
A
fndà
Chú ý r¬ng, tích phân hàm o ưñc không âm luôn tçn t¤i, là sè không âm và có
thº b¬ng +1
1
(c) N¸u f là hàm o ưñc thì f+(x) = max{f(x), 0}, fư(x) = max{ưf(x), 0} là các
hàm o ưñc, không âm và ta có f(x) = f+(x) ư fư(x). N¸u ít nh§t mët trong các
tích phân
Z
A
f+dà,
Z
A
fưdà là sè húu h¤n thì ta ành nghia
Z
A
fdà =
Z
A
f+dà ư
Z
A
fưdà
Ta nói f kh£ tích trên A n¸u
Z
A
fdà tçn t¤i và húu h¤n (hay c£ hai tích phân
Z
A
f+dà,
Z
A
fưdà là sè húu h¤n).
3. Các tính ch§t
Cho không gian ë o (X, F, à)
3.1 Mët sè các tính ch§t quen thuëc :
Gi£ sû A 2 F và f, g là các hàm o ưñc, không âm trên A ho°c kh£ tích trên A.
Khi ó ta có
ã
Z
A
(f + g)dà =
Z
A
fdà +
Z
A
gdà
Z
A
cfdà = c
Z
A
fdà 8c 2 R
ã N¸u f(x)  g(x) 8x 2 A thì
Z
A
fdà 
Z
A
gdà
ã N¸u A = A1 [ A2 vîi A1,A2 2 F,A1 A2 = ø thì
Z
A
fdà =
Z
A1
fdà +
Z
A2
fdà
3.2 Sü không phö thuëc tªp ë o O. Khái ni»m h¦u kh­p nìi
ành nghia
Gi£ sû P(x) là mët tính ch§t phát biºu cho méi x 2 A sao cho 8x 2 A thì ho°c P(x)
úng ho°c P(x) sai. Ta nói tính ch§t P(x) úng (hay x£y ra) h¦u kh­p nìi (vi¸t t­t
hkn) trên tªp A n¸u tªp
B = {x 2 A : P(x) không úng}
ưñc chùa trong mët tªp C 2 F mà à(C) = 0 (ho°c à(B) = 0 n¸u ã bi¸t B 2 F).
Ví dö
1) Gi£ sû f, g o ưñc trên A. Ta có
B := {x 2 A : f(x) 6= g(x)} 2 F
Do vªy ta nói f(x) = g(x) hkn trên A thì có nghia là à(B) = 0.
2) N¸u f o ưñc trên A thì tªp B = {x 2 A : |f(x)| = +1} thuëc F. Ta nói f
húu h¤n hkn trên A thì có nghia à(B) = 0.
2