Tài liệu Giải tích các hàm nhiều biến -Những nguyên lý cơ bản và tính toán thực hành

Giải tích các hàm nhiều biến -Những nguyên lý cơ bản và tính toán thực hành
​
Cuốn sách này có thể xem là tập tiếp theo của giáo trình giải tích các hàm
số một biến, đã được Nhà xuất bản Giáo dục ấn hành năm 1998, với tựa
đề Giải tích Toán học: Những nguyên lý cơ bản và tính toán thực hành.
Trong giáo trình đó chúng ta đã khảo sát dãy số, chuỗi số, hàm số và các
phép tính vi tích phân trong không gian một chiều (trục số thực). Trong tập tiếp
theo này các đối tượng trên sẽ được khảo sát trong không gian nhiều chiều, và đó
chính là sự khác biệt cơ bản giữa hai giáo trình. Để xây dựng các phép tính vi tích
phân trong không gian nhiều chiều, trước hết phải hiểu rõ cấu trúc của những
không gian này. Chương 1 đề cập tới hai cấu trúc quan trọng nhất của không gian
nhiều chiều, cấu trúc tuyến tính và cấu trúc khoảng cách, thông qua một ví dụ điển
hình là không gian n . Để giáo trình mang tính độc lập nhất định, không gian này
được xây dựng trực tiếp, mà không dựa vào khái niệm không gian tuyến tính tổng
quát trong giáo trình Đại số tuyến tính. Để tránh cồng kềnh, các khái niệm và kết
quả của chương này được chọn lọc tới mức tối thiểu từ 3 môn Đại số tuyến tính,
Tôpô và Giải tích hàm, vừa đủ sử dụng cho những chương sau, đồng thời dẫn dắt
người học làm quen với những bộ môn quan trọng đó. Các chương từ 2 đến 7
không chỉ thiết lập trong không gian nhiều chiều những gì đã biết trong Giải tích
một biến mà còn đưa ra những khái niệm mới chỉ xuất hiện trong không gian nhiều
chiều. Chương 8 trình bày các kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier và phép biến đổi
tích phân Fourier. Chương cuối cùng giới thiệu sơ lược về hệ phương trình vi phân
và phương trình đạo hàm riêng. Hai chương sau này nhằm mục đích củng cố
những kiến thức về vi tích phân đã học trong những chương trước, rèn luyện kỹ
năng tính toán thực hành và trang bị kiến thức để học viên tìm hiểu các môn học
khác như Vật lý, Cơ học, Sinh học, .
Nếu như các khái niệm, kết quả chứng minh trong Giải tích một biến có tính
trực quan cao, dễ hiển thị, thì sang không gian nhiều chiều tính trừu tượng đã tăng
lên rõ rệt. Tuy nhiên, cái đẹp của Toán học nằm trong sự trừu tượng và cái ích của
Toán học nằm trong sự cụ thể. Để hiểu rõ hai mặt ấy của Toán học đồng thời
nhằm rèn luyện phương pháp suy luận toán học cho sinh viên, trong giáo trình này
hai cách tiếp cận thường được sử dụng đan xen nhau: đó là cách đi từ cụ thể tới
trừu tượng và ngược lại, từ trừu tượng tới cụ thể tuỳ theo từng khái niệm, từng
định lý. Mỗi khi các kết quả được phát biểu và chứng minh trong không gian tổng
quát n chiều, thì người đọc có thể hạn chế trong trường hợp n=2 hoặc n=3 để hiểu
dễ dàng và thấu đáo hơn. Trong tài liệu này, chúng tôi cố gắng đưa vào các chứng
minh đầy đủ của những định lý lớn và “hóc búa” thường bị né tránh trong các
giáo trình hiện hành. Những chứng minh này là khó nhưng chứa đựng các phương
pháp suy luận điển hình rất cần cho việc rèn luyện tư duy (nhất là đối với học sinh
cao học và những ai muốn đi sâu hơn vào lĩnh vực Giải tích Toán học). Người đọc
C
không cần nhớ chi tiết, mà chỉ cần hiểu được các chứng minh này đã được xem là
đạt yêu cầu.
Việc minh hoạ và tính toán trong không gian nhiều chiều vốn là một vấn đề
khó vì không mấy khi có thể thực hiện được bằng thủ công, nhất là về các chủ đề:
Vẽ đồ thị trong không gian, tính tích phân bội, tính vi phân hàm ẩn vectơ nhiều
biến, tính toán các biến đổi tích phân Fourier, giải phương trình đạo hàm riêng, .
Cái khó ở đây bắt đầu ngay từ việc tìm sao cho ra một ví dụ có thể xử lý được.
Chính vì vậy, lĩnh vực này luôn luôn là mơ hồ đối với hầu hết mọi học viên (từ đại
học đến cao học). Nhằm xoá bỏ tình trạng này, chúng tôi mạnh dạn đưa vào giáo
trình phần hướng dẫn tính toán thực hành trên máy, ngay sau mỗi chương lý
thuyết. Qua đây người đọc sẽ thấy rằng ngày nay, với máy tính và phần mềm toán
học thông dụng (có sẵn trên thị trường và trên Internet), chỉ bằng những dòng lệnh
đơn giản tương tự như ngôn ngữ toán học thông thường, người ta có thể sờ thấy
được những gì mà trước đây không thể nào hình dung ra nổi. Nếu chưa có sẵn
các chương trình tính toán trên máy cá nhân, người đọc có thể truy cập tới một số
trung tâm cung cấp dịch vụ tính toán qua mạng (thường là miễn phí) để có thể thực
hành tính toán được ngay (bạn đọc có nhu cầu xin liên hệ với các tác giả để biết
thêm thông tin chi tiết). Đối với người học chưa có điều kiện tiếp xúc với máy tính,
việc đọc phần này vẫn rất có tác dụng, vì sẽ biết được cơ chế giao tiếp giữa người
với máy và biết được những gì máy tính có thể thay thế con người trong quá trình
tính toán. Quan trọng hơn, qua các ví dụ minh hoạ về tính toán trên máy trình bày
trong sách, người học sẽ nắm được kiến thức toán học một cách sâu sắc hơn, do
tiếp cận được tới những điều mà trước đây tưởng như là không thể. Khi không còn
bị mặc cảm bởi những bài toán hóc búa, người ta sẽ thấy toán học không còn là
huyền bí và tự tin trong việc đón nhận những bài toán khó nảy sinh từ thực tiễn sản
xuất.
Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách này sẽ là một cẩm nang tốt cho những ai
muốn hiểu sâu sắc về Giải tích toán học nói chung, và về giải tích các hàm số
nhiều biến nói riêng. Do đó, nó sẽ là hữu ích đối với các học sinh cao học, cũng
như thầy và trò các trường Tổng hợp, Sư phạm, Kỹ thuật, .
Tập thể tác giả xin chân thành cảm ơn giáo sư Nguyễn Duy Tiến (ĐHQG Hà
Nội) và giáo sư Đoàn Quỳnh (ĐHSP Hà Nội) đã đọc rất kỹ bản thảo và đã cho
những nhận xét quý báu. Việc trình bầy một chủ đề phức tạp sẽ không thể tránh
khỏi những sai sót, cho nên chúng tôi mong tiếp tục nhận được sự phê bình, góp ý
của các đồng nghiệp và học viên gửi về theo địa chỉ: Viện Toán học, Trung tâm
Khoa học Tự nhiên và Công nghệ Quốc gia, 18-Đường Hoàng Quốc Việt, Quận
Cầu Giấy, Hà Nội.