Thạc Sĩ Giải số bằng MATLAB (204 trang)

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
Trang
MỞ ĐẦU 1
NỘI DUNG 5
CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ MATLAB 5
1.1. TỔNG QUAN 5
1.1.1 Chương trình 7
1.1.2 Dòng lệnh 7
1.1.3 Hàm số . 8
1.1.4 Biến số 9
1.2. MỘT SỐ LỆNH CƠ BẢN . 9
1.2.1 Lệnh gán 10
1.2.2 Các lệnh trên ma trận và vectơ 10
1.2.3 Các lệnh cấu trúc 10
1.2.4 Vẽ hình 12
1.2.5 Một số lệnh khác 13
1.2.6 Các dạng thức (format) biểu diễn số . 14
1.3. CÁC BÀI TOÁN . 14
Bài 1.3.1 . 14
Bài 1.3.2 . 16
Bài 1.3.3 . 18
CHƯƠNG 2. ĐA THỨC TAYLOR . 22
2.1. ĐA THỨC TAYLOR . 22
Ví dụ 2.1.1 . 23
Ví dụ 2.1.2 . 24
Ví dụ 2.1.3 . 25
Ví dụ 2.1.4 . 25
Ví dụ 2.1.5 . 26
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 27
Chương trình 2.1 . 28
Chương trình 2.2 . 30
2.2. SAI SỐ TRONG ĐA THỨC TAYLOR . 31
Định lý 2.2.1 . 31
Ví dụ 2.2.2 . 31
Ví dụ 2.2.3 . 32
Ví dụ 2.2.4 . 33
Định lý 2.2.5 . 35
Ghi chú 2.2.6 . 36
2.2.1 Chuỗi số vô hạn . 36
Định lý 2.2.7 . 38
Định lý 2.2.8 . 38
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 39
Chương trình 2.3 . 39
Chương trình 2.4 . 41
2.3. TÍNH GIÁ TRỊ SỐ CỦA ĐA THỨC . 43
Ví dụ 2.3.1 . 45
2.3.1 Một chương trình mẫu . 46
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 47
Chương trình 2.5 . 48
CHƯƠNG 3. TÌM NGHIỆM . 51
Định lý 3.1 . 51
Định lý 3.2 . 51
Định lý 3.3 . 51
3.1. PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI . 52
3.1.1 Mô tả phương pháp . 52
Ví dụ 3.3.1 . 52
3.1.2 Đánh giá sai số . 53
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 53
Chương trình 3.1 . 54
3.2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON . 56
3.1.1 Mô tả phương pháp . 56
Ví dụ 3.2.1 . 57
3.1.2 Đánh giá sai số . 58
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 59
Chương trình 3.2 . 60
3.3. PHƯƠNG PHÁP CÁT TUYẾN . 62
3.3.1 Mô tả phương pháp . 62
Ví dụ 3.3.1 . 63
3.3.2 Đánh giá sai số . 64
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 65
Chương trình 3.3 . 65
3.3.3 Hàm số Matlab fzero . 67
CHƯƠNG 4. PHÉP NỘI SUY VÀ PHÉP TÍNH XẤP XỈ . 68
4.1. PHÉP NỘI SUY ĐA THỨC . 68
4.1.1 Đa thức nội suy . 68
4.1.2 Sự tồn tại và duy nhất của đa thức nội suy . 68
Định lý 4.1.1 . 68
4.1.3 Sai số nội suy và chọn nút nội suy . 69
Định lý 4.1.2 . 69
4.1.4 Đa thức nội suy Lagrange . 70
4.1.5 Các tỷ sai phân . 70
Định lý 4.1.3 . 71
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 71
Chương trình 4.1 72
4.1.6 Công thức nội suy tỷ sai phân Newton 73
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 74
Chương trình 4.2 74
4.2. ĐA THỨC CHEBYSHEV 75
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 77
Chương trình 4.3 77
4.3. PHÉP NỘI SUY DÙNG HÀM GHÉP TRƠN (HÀM SPLINE) 80
4.3.1 Phép nội suy spline 81
4.3.2 Xây dựng hàm spline bậc 3 nội suy 81
Ví dụ 4.3.1 . 82
4.3.3 Chương trình MATLAB spline 83
4.4. BÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM THỰC NGHIỆM 84
4.4.1 Trường hợp f(x)=Ax+B . 84
Ví dụ 4.4.1 . 85
4.4.2 Trường hợp f(x)=Ax2+Bx+C . 85
Ví dụ 4.4.2 . 86
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 86
Chương trình 4.4 86
CHƯƠNG 5. TÍCH PHÂN SỐ VÀ VI PHÂN 88
5.1. CÔNG THỨC HÌNH THANG . 88
5.1.1 Thiết lập công thức 88
Ví dụ 5.1.1 . 88
Ví dụ 5.1.2 . 88
5.1.2 Đánh giá sai số 90
Ví dụ 5.1.3 . 90
5.1.3 Nhận xét chung 90
Ví dụ 5.1.4 . 91
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 92
Chương trình 5.1 92
5.2. CÔNG THỨC SIMPSON 94
5.1.1 Thiết lập công thức 94
5.1.2 Đánh giá sai số 94
5.1.3 Nhận xét chung 95
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 96
Chương trình 5.2 96
5.3. CÔNG THỨC TÍCH PHÂN GAUSS . 98
5.1.1 Thiết lập công thức 98
5.1.2 Công thức sai số . 99
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 99
Chương trình 5.3 99
Chú thích . 100
Chương trình 5.3a 102
5.4. VI PHÂN SỐ . 102
5.4.1 Vi phân số dùng phép nội suy 103
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB 105
Chương trình 5.4 . 106
Chương trình 5.4a 107
Chương trình 5.4b 108
Chương trình 5.4c 110
CHƯƠNG 6. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 112
6.1. PHƯƠNG PHÁP GAUSS . 112
Ví dụ 6.1.1 114
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB 116
Chương trình 6.1 . 116
6.2. PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU . 118
Định lý 6.2.1 . 118
Ví dụ 6.2.2 . 119
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 119
Chương trình 6.2 . 119
Ví dụ 6.2.3 . 122
Chương trình 6.2a . 123
6.3. PHƯƠNG PHÁP LẶP . 123
Định nghĩa 6.3.1 . 124
Ví dụ 6.3.2 . 124
Định lý 6.3.3 . 124
Định nghĩa 6.3.4 . 125
Định lý 6.3.5 . 125
Ví dụ 6.3.6 . 125
Định lý 6.3.7 . 126
Định nghĩa 6.3.8 . 127
Ví dụ 6.3.9 . 128
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 131
Chương trình 6.3 . 132
Chương trình 6.3a . 133
CHƯƠNG 7. GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG . 135
7.1. PHƯƠNG PHÁP EULER . 136
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 138
Chương trình 7.1 . 139
Chương trình 7.1a . 141
7.2. PHƯƠNG PHÁP RUNGE - KUTTA . 142
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 145
Chương trình 7.2 . 145
7.3. PHƯƠNG PHÁP ĐA BƯỚC (MULTISTEP METHODS) . 147
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 149
Chương trình 7.3 . 149
7.4. BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH CẤP HAI . 152
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 153
Chương trình 7.4 . 153
CHƯƠNG 8. GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG . 156
8.1. BÀI TOÁN LAPLACE 1 CHIỀU . 156
8.1.1 Bài toán . 156
8.1.2 Phân rã bài toán . 156
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 157
Chương trình 8.1 . 158
8.2. BÀI TOÁN PARABOLIC 1 CHIỀU . 159
8.2.1 Bài toán . 159
8.2.2 Phân rã bài toán . 160
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . 161
Chương trình 8.2 . 161
8.3. BẬC HỘI TỤ VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN CỦA BÀI TOÁN
MỘT CHIỀU . 165
8.3.1 Bậc hội tụ 165
8.3.2 Điều kiện biên Neumann . 167
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB 168
Chương trình 8.3 . 169
8.4. BÀI TOÁN LAPLACE 2 CHIỀU . 172
8.4.1 Bài toán 172
8.4.2 Phân rã bài toán 172
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB 174
Chương trình 8.4 . 174
8.5. BÀI TOÁN PARABOLIC 2 CHIỀU 179
8.5.1 Bài toán 179
8.5.2 Phân rã bài toán 179
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB 180
Chương trình 8.5 . 180
8.6. BẬC HỘI TỤ VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN CỦA BÀI TOÁN HAI
CHIỀU . 186
CHƯƠNG TRÌNH MATLAB 187
Chương trình 8.6 . 187
KẾT LUẬN 191
1. NHẬN ĐỊNH CHUNG 191
2. MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 192
TÀI LIỆU THAM KHẢO
MỞ ĐẦU
Giải tích số hiện đang phát triển mạnh và càng mạnh hơn với sự phát triển
cực kỳ nhanh của tin học. Công nghệ tin học và giải tích số có vai trò rất quan
trọng trong các lĩnh vực, ngay cả trong thị trường chứng khoán đang mới nổi ở
Việt Nam và diễn biến rất gay gắt hiện nay trong nền kinh tế thị trường, cũng phải
nghiên cứu nhiều bài toán phương trình vi tích phân ngẫu nhiên mà không thể
không sử dụng kiến thức về giải tích số và tin học ứng dụng. Ở đây chúng tôi
không đi vào nghiên cứu bài toán về thị trường chứng khoán mà chỉ muốn nói rõ
vai trò của giải tích số và tin học.
Thực tế hiện nay: Giải tích số, các phương pháp tính trình bày đơn thuần
bằng kiến thức toán thì tài liệu và sách hiện nay có rất nhiều và phổ biến. Tài liệu
và sách về giải số các bài toán bằng các chương trình máy tính hiện cũng đã có
nhưng bằng MATLAB thì không nhiều và chương trình MATLAB được đưa vào
còn rời rạc và chưa hướng dẫn cho người đọc cách thực hiện một chương trình cụ
thể như thế nào.
Trong khi đó, MATLAB - là phần mềm nổi tiếng của công ty MathWorks,
là một ngôn ngữ hiệu năng cao cho tính toán kỹ thuật. Nó tích hợp tính toán, hiện
thị và lập trình trong một môi trường dễ sử dụng. Các ứng dụng tiêu biểu của
MATLAB bao gồm: hỗ trợ toán học và tính toán; phát triển thuật toán; mô hình,
mô phỏng; phân tích, khảo sát và hiển thị số liệu; đồ họa khoa học và kỹ thuật;
phát triển ứng dụng với giao diện đồ họa.
Ngoài MATLAB cơ bản với các khả năng rất phong phú, phần mềm
MATLAB còn được trang bị thêm các ToolBox - các gói chương trình (thư viện)
cho các lĩnh vực ứng dụng rất đa dạng như xử lý tín hiệu, nhận dạng hệ thống, xử
lý ảnh, mạng nơ ron, logic mờ, tài chính, tối ưu hóa, phương trình đạo hàm riêng,
sinh tin học, . Đây là các tập hợp mã nguồn viết bằng chính MATLAB dựa theo
các thuật toán mới, hữu hiệu mà người dùng có thể chỉnh sửa hoặc bổ sung thêm
các hàm mới. MATLAB được thiết kế để giải các bài toán bằng số chứ không
nhằm mục đích chính là tính toán ký hiệu như MATHEMATICA và MAPLE. Tuy
nhiên, trong MATLAB cũng có thể tính toán ký hiệu được nhờ các hàm trong
Symbolic Math ToolBox.
Trên thế giới, MATLAB được cộng đồng hàn lâm trên thế giới chấp nhận
rộng rãi như một công cụ phục vụ cho giảng dạy, nghiên cứu toán học và phát
triển các ứng dụng kỹ thuật. Hơn 3500 trường đại học nhất là các trường đại học
kỹ thuật đã đưa MATLAB vào giảng dạy và nghiên cứu. Hiện nay đã có trên 700
đầu sách về MATLAB dành cho giáo viên, sinh viên và các nhà chuyên môn. Ở
Việt nam, theo chúng tôi được biết, MATLAB đã được đưa vào giảng dạy cho
sinh viên, học viên cao học hoặc giới thiệu tại một số khoa, trường đại học và cũng
đã xuất bản một số đầu sách về MATLAB dành cho sinh viên các khối khoa học
và kỹ thuật. Tuy nhiên mức độ phổ biến của MATLAB chưa phải là cao. Nhất là ở
đồng bằng sông Cửu Long.
Với ưu thế về tính toán số trị MATLAB rất thích hợp cho việc giảng dạy
môn học giải tích số, các phương pháp số - môn học không thể thiếu được đối với
sinh viên toán, lý, công nghệ thông tin và các ngành kỹ thuật. Việc sử dụng
MATLAB để lập trình các thuật toán của môn học này có cái lợi là đơn giản, dễ
dàng vẽ các đồ thị để hiện thị kết quả và kiểm tra kết quả các chương trình tự viết
so với kết quả của các hàm đã cài đặt sẵn vì MATLAB cơ bản chứa đựng rất nhiều
các hàm tính toán toán học. Từ đó, góp phần nâng cao năng lực dạy và học toán
trong các trường Đại học, đặc biệt là môn học giải tích số và phương pháp tính.
Chính vì thế, PGS.TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG đã khuyên tôi nên chọn đề tài
“GIẢI SỐ BẰNG MATLAB”.
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày sơ lược (không đi sâu) về lý
thuyết giải số mà chú trọng vào các chương trình MATLAB để giải quyết bài toán
số.
Để thực hiện luận văn này, chúng tôi đã tham khảo tài liệu có liên quan
trong và ngoài nước, phân tích, chọn lọc và hệ thống hoá thành cơ sở lý luận phục
vụ cho đề tài. Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng công nghệ thông tin, internet.
Khi nhận được lời khuyên từ PGS.TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG về đề tài này,
tôi bắt đầu tìm hiểu sơ lược về đề tài, chọn đề tài. Sau đó, nghiên cứu những tài
liệu có liên quan rồi phân tích, tổng hợp, chọn lọc những nội dung cơ bản phục vụ
cho đề tài. Lập đề cương dự kiến, tìm hiểu và chạy thử một số chương trình
MATLAB. Tiến hành sắp xếp lại các vấn đề, điều chỉnh, bổ sung các đoạn chương
trình và viết hoàn chỉnh thành nội dung của luận văn.
Nội dung của luận văn được chia thành 8 chương. Chương 1, giới thiệu sơ
lược về MATLAB, một số đặc tính và một số lệnh được sử dụng trong các chương
trình MATLAB trong luận văn này. Chương 2, trình bày đa thức Taylor, cách thiết
lập, cách xác định giá trị và sai số của đa thức Taylor, và cách ước lượng đa thức.
Chương 3, trình bày một số phương pháp tìm nghiệm thực của phương trình phi
tuyến, phương pháp chia đôi, phương pháp Newton và phương pháp cát tuyến.
Chương 4, phép nội suy và phép tính xấp xỉ, trong phần này chúng tôi trình bày
phép nội suy đa thức, đa thức Chebyshev, phép nội suy dùng hàm ghép trơn và bài
toán xấp xỉ hàm thực nghiệm. Chương 5, tích phân số và vi phân, chúng tôi trình
bày một số công thức tính tích phân, công thức hình thang, công thức Simpson và
công thức tích phân Gauss, và sơ lược về vi phân số. Chương 6, một số phương
pháp giải hệ phương trình tuyến tính như là phương pháp Gauss, phương pháp
nhân tử LU và phương pháp lặp. Chương 7, một số phương pháp giải số phương
trình vi phân thường như là phương pháp Euler, phương pháp Runge - Kutta và
phương pháp đa bước đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp một, và giải bài
toán biên tuyến tính cấp hai. Chương 8, giải số phương trình đạo hàm riêng dựa
trên cơ sở phân rã các bài toán, bài toán Laplace và bài toán Parabolic một chiều
và hai chiều cùng với việc đánh giá bậc hội tụ và điều kiện Neumann của nó.
Nhìn chung nội dung luận văn đã trình bày tương đối đầy đủ các nội dung
chương trình của môn học giải tích số cũng như môn học phương pháp tính của
sinh viên chuyên ngành toán, sinh viên bách khoa và sinh viên ngành kỹ thuật.
Cùng với các chương trình MATLAB ở từng mục sẽ tạo nên một phong cách tươi
mới hơn, tích cực hơn, hiệu quả và hiện đại hơn trong việc dạy và học môn giải
tích số cũng như môn phương pháp tính. Góp phần nâng cao năng lực dạy và học
toán trong các trường đại học. Đây cũng là mục tiêu hướng tới của chúng tôi khi
thực hiện luận văn này.