Thạc Sĩ Giải một số phương trình tích phân kỳ dị và áp dụng

Mở đầu

Phương trình tích phân xuất hiện một cách tự nhiên khi nghiên cứu bài toán giá trị biên của toán học vật lý. Trong quá trình nghiên cứu về phương trình tích phân việc đưa giá trị kỳ dị của nhân vào phương trình tích phân đã đặt ra những vấn đề khó nhưng đầy hấp dẫn trong việc tìm nghiệm của phương trình tích phân. Các kỹ thuật giải phương trình tích phân kỳ dị đã được xây dựng và phát triển mạnh mẽ trong thế kỷ XXI. Các kỹ thuật này gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua, B. N. Mandal, A. Chakrabarti, .

Luận văn “Giải một số phương trình tích phân kỳ dị và áp dụng ” được chia làm ba chương.

Chương 1 trình bày những kiến thức chuẩn bị là cơ sở lý thuyết cho hai chương sau, bao gồm các khái niệm về phương trình tích phân, phương trình tích phân kỳ dị, tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy. Sau đó là một số kết quả trong lý thuyết hàm biến phức: công thức tích phân Cauchy, công thức Poincaré - Bertrand.
Chương 2 trình bày phương pháp Riemann - Hilbert và áp dụng phương pháp này vào giải một số phương trình tích phân kỳ dị như phương trình tích phân Riemann - Hilbert , Abel, phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit.
Chương 3 trình bày một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm của phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân kỳ dị dạng Cauchy và dạng Logarit. Những phương pháp này tránh được những kỹ thuật phức tạp khi sử dụng phương pháp biến số phức đã được mô tả ở Chương 2.
Các kết quả chính trong chương 2 và chương 3 được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo [5].

Mục lục
Lời cảm ơn i
Mở đầu iii
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Khái niệm phương trình tích phân . 1
1.2 Phương trình tích phân kỳ dị . 1
1.3 Tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy 3
1.4 Một số kết quả trong lý thuyết hàm biến phức 4
1.5 Phương trình tích phân kỳ dị trên chu tuyến . 10
2 Phương pháp Riemann - Hilbert giải phương trình tích phân
trên đường cong mở 12
2.1 Bài toán Riemann - Hilbert 13
2.2 Phương trình tích phân Abel 16
2.3 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân Logarit . 21
2.4 Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit trên các đoạn rời
nhau . 30
3 Một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm của phương trình
tích phân kỳ dị 35
3.1 Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit 35
3.2 Phương trình tích phân với hạt nhân Cauchy . 46
3.3 Sử dụng công thức Poincaré - Bertrand 48
Kết luận . 54
Tài liệu tham khảo . 55