Tài liệu Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân

ĐỀ TÀI: Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU .3
Chương 1
MỞ ĐẦU .5
1.1 Phương tŕnh truyền nhiệt 5
1.2 Công thức Taylor .7
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI MỘT 9
2.1 Phát biểu bài toán .9
2.2 Lưới sai phân và hàm lưới .10
2.3 Lược đồ sai phân .12
2.4 Bài toán sai phân đối với sai sè .17
2.5 Sự xấp xỉ .18
2.6 Sự ổn định .18
2.7 Sự hội tụ 25
Chương 3
PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI BA 26
3.1 Phát biểu bài toán .26
3.2 Lưới sai phân và hàm lưới 27
3.3 Lược đồ sai phân 27
3.4 Bài toán sai phân đối với sai sè 32
3.5 Sự xấp xỉ .33
3.6 Sự ổn định .33
3.7 Sự hội tụ 43
KẾT LUẬN .44
PHỤ LỤC 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO .51

Lời nói đầu

Bài toán truyền nhiệt là một trong ba bài toán vật lư toán cơ bản mà chúng ta hay gặp trong thực tế. Việc giải các bài toán đó để có được đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của thực tiễn. Trong một số Ưt trường hợp, chúng ta có thể t́m được nghiệm tường minh. Tuy nhiên trong đa số trường hợp, đặc biệt đối với các bài toán có hệ số hàm th́ nghiệm tường minh của bài toán là khó có thể xác định được, hoặc nghiệm tường minh ở dạng rất phức tạp. V́ vậy trong trường hợp này chúng ta thường dựa vào các phương pháp giải gần đúng để t́m nghiệm.
Đến nay có hai lớp phương pháp quan trọng thường được sử dụng để t́m nghiệm gần đúng là : phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp phần tử hữu hạn. Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng răi trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Nội dung của nó là đưa bài toán cần xét về việc giải phương tŕnh sai phân hoặc hệ phương tŕnh sai phân sao cho việc tính toán thuận tiện, đồng thời vẫn đảm bảo được tính ổn định của lược đồ, cũng như đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm gần đúng t́m được tới nghiệm đúng của bài toán.
Nhận thấy tầm quan trọng của phương pháp sai phân hữu hạn, em đă t́m hiểu về phương pháp này. Đồng thời với sự hướng dẫn của thầy Tạ Văn Đĩnh, em đă chọn đề tài : giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân. Trong đồ án này em đă đi xây dựng lược đồ sai phân cho một số dạng bài toán truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiên biên loại một và điều kiện biên loại ba. Lược đồ này ổn định, đồng thời nghiệm sai phân của các lược đồ này đều hội tụ đến nghiệm của bài toán vi phân cấp hai đối với (bước đi theo thời gian) và cấp hai đối với (bước đi theo không gian). Cụ thể là đồ án gồm các chương:
Chương 1 : Mở đầu
Chương này giới thiệu phương tŕnh truyền nhiệt và công thức Taylor để nghiên cứu lược đồ sai phân.
Chương 2: Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt tuyến tính hệ số hàm với điều kiện biên loại một.
Chương 3: Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt tuyến tính hệ số hàm với điều kiện biên loại ba.

Chương 1
MỞ ĐẦU

1.1 Phương tŕnh truyền nhiệt.
Xét một thanh vật chất không đồng chất, dài L(cm), có thiết diện thẳng nhỏ không đổi là S(cm[SUP]2[/SUP]), có khối lượng riêng là (g/cm[SUP]3[/SUP]), có nhiệt dung là C(cal/g.[SUP]o[/SUP]C). Xét một bộ phận vật chất có thể tích V(cm[SUP]3[/SUP]). Nếu bộ phận đó có nhiệt độ không đổi th́ nhiệt độ u([SUP]o[/SUP]C) và nhiệt lượng H(cal) của nó liên hệ với nhau bởi công thức:
H = uCV (1.1)
Người ta quan sát thấy khi thanh vật chất có vùng nóng vùng lạnh th́ nhiệt lượng có khả năng khuếch tán từ vùng nóng sang vùng lạnh. Ta gọi suất khuếch tán nhiệt là k(cm[SUP]2[/SUP]/s).
Bây giờ giả sử thanh vật chất bị cách nhiệt khỏi môi trường xung quanh, trừ tại hai đầu mút. Hăy xét diễn biến theo thời gian của phân bố nhiệt độ trong thanh.
Ta tưởng tượng thanh vật chất đặt trên trục Ox từ x = a đến x = a+L = b

[TABLE=align: left]
[TR]
[TD][/TD]
[/TR]
[TR]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[/TR]
[/TABLE]



0 a b x
Gọi u(x,t) là nhiệt độ của thanh tại điểm x ở thời điểm t. Nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt độ thấp hơn. Sự lan truyền diễn ra dọc theo thanh vật chất tức là theo phương x. Nó tuân theo định luật truyền nhiệt thực nghiệm của Fourier.
Luồng nhiệt q(cal/(cm[SUP]2[/SUP].s)) theo phương x (tức là nhiệt lượng khuếch tán qua một đơn vị diện tích của thiết diện thẳng nhỏ S trong một đơn vị thời gian) tỉ lệ với vận tốc biến thiên của nhiệt độ u dọc theo phương x, tức là tỉ lệ với:
q = -kC (1.2)
dấu trừ (-) ở vế phải nói rằng nhiệt truyền theo chiều giảm của nhiệt độ.
Do có định luật bảo toàn nhiệt lượng nên có sự cân bằng nhiệt ở mỗi phân tố nhỏ S của thanh từ x đến x+ trong thời gian . Sự cân bằng này diễn đạt bằng công thức :
Nhiệt truyền vào phân tố – Nhiệt ra khỏi phân tố = Nhiệt tích luỹ trong phân tố.
Nhiệt truyền vào phân tố là q(x,t)S;
Nhiệt ra khỏi phân tố là q(x+,t)S;
Nhiệt tích luỹ trong phân tố là SC. trong đó là biến thiên của nhiệt độ trong thời gian .
Vậy có :
q(x,t)S - q(x+,t)S = SC
chia cho S ta được :

chuyển qua giới hạn (bằng cách cho , ), ta có:

áp dụng định luật Fourier (1.2) ta suy ra:
a < x < b, t > 0, k=k(x,t),
= (x,t), C = C(x,t) (1.3)

để đơn giản tính toán ta coi =const và C=const ta viết lại phương tŕnh (1.3)
a < x < b, t > 0, k=k(x,t) (1.4)
Phương tŕnh (1.4) mô tả hiện tượng truyền nhiệt trong thanh vật chất không đồng chất, gọi là phương tŕnh truyền nhiệt của thanh, c̣n gọi là phương tŕnh truyền nhiệt một chiều.
Khi trong thanh vật chất c̣n có một nguồn nhiệt(sinh hay hấp thụ nhiệt) đặc trưng bởi hàm f(x,t) th́ ta có phương tŕnh:
; a < x < b, t > 0 (1.5)
nếu k và f không phụ thuộc vào u th́ ta có phương tŕnh truyền nhiệt tuyến tính:
; a < x < b, t > 0 (1.6)
nếu trong môi trường truyền nhiệt c̣n có hiện tượng đối lưu th́ có phương tŕnh:
; a < x 0 (1.7)
Trong phạm vi của đồ án này, em xin tŕnh bày phương pháp sai phân đối với một số dạng phương tŕnh truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiện biên loại một và phương tŕnh truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiện biên loại ba.
1.2 Công thức Taylor
Ta nhắc lại công thức Taylor v́ sau này ta phải sử dụng nó nhiều lần.
Giả sử là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m+1 trong một khoảng chứa x và , có thể dương hay âm. Khi đó người ta chứng minh được công thức Taylor sau:

(1.8)
trong đó c là một điểm ở trong khoảng từ đến ; để diễn tả điều đó ta có thể viết c = với .
Ta giả thiết thêm:
,
Khi đó số hạng cuối cùng ở (1.8) là một vô cùng bé khi và công thức Taylor (1.8) viết gọn hơn:

(1.9)



Chương 2
PHƯƠNG PHÁP CRANK – NICOLSON GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI MỘT

2.1 Phát biểu bài toán
Cho các số ; và . Xét:
;
Xét bài toán biên thứ nhất đối với phương tŕnh truyền nhiệt:
T́m hàm số thoả măn:
(2.1)
, (2.2)
, (2.3)
trong đó , , , , , là những hàm số cho trước đủ trơn và thoả măn điều kiện :
, c[SUB]0[/SUB] = const
Phương tŕnh (2.1) là phương tŕnh loại parabol. Phương tŕnh (2.1) là phương tŕnh truyền nhiệt một chiều. Biến gọi là biến không gian, c̣n biến gọi là biến thời gian.
Bài toán (2.1)-(2.3) là một bài toán vừa có điều kiện ban đầu (đó là điều kiện (2.2)), vừa có điều kiện biên (đó là điều kiện (2.3)); Đó là bài toán biên loại một đối với phương tŕnh (2.1).
Giả sử bài toán (2.1)-(2.3) có nghiệm duy nhất đủ trơn trong .

2.2 Lưới sai phân và hàm lưới
2.2.1 Lưới sai phân
Chọn hai số nguyên N >1 và M ³ 1 và đặt:
, , i=0,1,2, N
, . j = 0,1,2, ,M
Ta chia miền thành các ô bởi những đường thẳng , . Mỗi điểm gọi là một nút, nút c̣n được viết gọn là (i,j); gọi là bước đi theo không gian, được gọi là bước đi theo thời gian.
Tập tất cả các nút tạo thành một lưới sai phân trên.
Lưới trên [a, b] (lưới không gian): Tập:
W[SUB]h[/SUB] = { x[SUB]i[/SUB] | i=1,2, ,N-1}
gọi là tập các nút trong trên . Tập:
G[SUB]h[/SUB] = { x[SUB]i[/SUB] | i=0, N }
gọi là tập các nút biên trên ; nót 0 và nút N là hai nút biên. Tập:

gọi là một lưới sai phân trên .
Lưới trên (lưới thời gian): Tập:

gọi là một lưới sai phân trên . Tập:

gọi là một lưới sai phân trên ; nót t[SUB]o[/SUB] = 0 là nút ban đầu.
Tập:

là tập các nút trong trên .
Tập:

gọi là tập các nút biên trái. Tập:

gọi là tập các nút biên phải. Tập:

gọi là tập các nút ban đầu.
Nh­ vậy tập:

chính là lưới sai phân trên.
Ta phân lưới sai phân thành nhiều lớp :
Lớp thứ j tạo bởi các nút ứng cùng một giá trị thời gian t[SUB]j[/SUB] là:
;
nót (x[SUB]0[/SUB], t[SUB]j[/SUB]) = (a, t[SUB]j[/SUB]) và (x[SUB]N[/SUB], t[SUB]j[/SUB]) = (b, t[SUB]j[/SUB]) là hai nút biên.
2.2.2 Hàm lưới
Hàm số xác định tại các nút của một lưới nào đó gọi là một hàm lưới. Giá trị của hàm lưới v tại nút (i, j) là. Các giá trị cua hàm lưới v tại các nút của lớp tạo thành hàm lưới v[SUP]j[/SUP] xác định trên . Ta có:

Trong tập các hàm lưới này ta xét hai loại chuẩn


Mỗi hàm số u(x,t) xác định trên có giá trị tại (i,j) là u(x[SUB]i[/SUB],t[SUB]j[/SUB]) và tạo ra hàm lưới u xác định bởi =u(x[SUB]i[/SUB],t[SUB]j[/SUB])
2.3 Lược đồ sai phân
Sử dụng phương pháp Crank-Nicolson (6 điểm đối xứng) để giải.
Dùng công thức Taylor ta tính xấp xỉ các đạo hàm của phương tŕnh (2.1) tại các nút lưới ta có:
Với quy ước




̃

̃ (2.4)


̃
̃ (2.5)

theo (2.5) ta có :

(2.6)
Ta chứng minh:


Theo công thức Taylor ta có :


̃


(2.7)
Một cách tương tự ta có: