Thạc Sĩ Giá trị nguyên tố của đa thức bất khả quy

Môc lôc
Môc lôc 1
LŒi nªi fi˙u 3
1 §a thłc b˚t kh¶ quy 5
1.1 §a thłc b˚t kh¶ quy vµ sø t›‹ng tø víi sŁ nguy“n tŁ 5
1.2 TÝnh b˚t kh¶ quy tr“n Q . 11
2 Tr›Œng ph'n rã cæa fia thłc vµ tÝnh b˚t kh¶ quy tr“n R vµ C 19
2.1 Tr›Œng ph'n rã cæa fia thłc . 19
2.2 §Þnh lÝ c‹ b¶n cæa fi„i sŁ vµ tÝnh b˚t kh¶ quy tr“n C vµ tr“n R 22
3 MŁi quan hÖ giưa tÝnh b˚t kh¶ quy vµ gi‚ trÞ nguy“n tŁ 29
3.1 Tı gi‚ trÞ nguy“n tŁ suy ra tÝnh b˚t kh¶ quy 30
3.2 X'y døng fia thłc b˚t kh¶ quy tı sŁ nguy“n tŁ . 33
KÕt lu¸n 41
Tµi liÖu tham kh¶o 42
12
LŒi c¶m ‹n
Tr›íc hÕt, t«i xin göi lŒi biÕt ‹n ch'n thµnh vµ s'u s¾c nh˚t fiÕn PGS.TS
L“ ThÞ Thanh Nhµn. M˘c dï r˚t b¸n rØn trong c«ng viÖc nh›ng c« vÉn dµnh
r˚t nhiÒu thŒi gian vµ t'm huyÕt trong viÖc h›íng dÉn. Cho fiÕn h«m nay,
lu¸n v¤n th„c sÜ cæa t«i fiã fi›îc hoµn thµnh còng chÝnh lµ nhŒ sø nh¾c nhº,
fi«n fiŁc, sø gióp fiì nhiÖt t×nh cæa C«.
T«i xin tr'n träng c¶m ‹n Ban Gi‚m hiÖu, Khoa To‚n- Tin vµ phßng §µo
t„o tr›Œng §„i häc Khoa häc-§„i häc Th‚i Nguy“n. T«i xin tr'n träng c¶m
‹n c‚c Th˙y C« fiã t¸n t×nh truyÒn fi„t nhưng kiÕn thłc quý b‚u còng nh› t„o
mäi fiiÒu kiÖn thu¸n lîi nh˚t fiÓ t«i hoµn thiÖn lu¸n v¤n nµy.
CuŁi cïng t«i xin ch'n thµnh bµy tÆ lßng biÕt ‹n tíi gia fi×nh, b„n bÌ
vµ c‚c thµnh vi“n trong líp cao häc To‚n K6C (khªa 2012-2014) fiã kh«ng
ngıng fiØng vi“n, hç trî vµ t„o mäi fiiÒu kiÖn tŁt nh˚t cho t«i trong suŁt thŒi
gian häc t¸p vµ thøc hiÖn lu¸n v¤n.
T«i xin ch'n träng c¶m ‹n!3
LŒi nªi fi˙u
Vai trß cæa fia thłc b˚t kh¶ quy trong t¸p c‚c fia thłc còng quan träng
giŁng nh› vai trß cæa sŁ nguy“n tŁ trong t¸p sŁ nguy“n. ChÝnh v× v¸y, sø t›‹ng
tø giưa sŁ nguy“n tŁ vµ fia thłc b˚t kh¶ quy lµ mØt chæ fiÒ quan träng trong sø
ph‚t triÓn vµ sø li“n hÖ qua l„i cæa LÝ thuyÕt sŁ vµ H×nh häc §„i sŁ. Cho fiÕn
nay, cßn nhiÒu gi¶ thuyÕt, nhiÒu c'u hÆi li“n quan fiÕn sø t›‹ng tø nµy vÉn
ch›a fi›îc gi¶i quyÕt. Ch ng h„n, mØt gi¶ thuyÕt næi tiÕng cæa Buniakowski
fi˘t ra n¤m 1854 ph‚t biÓu r»ng nÕu fia thłc b¸c d›‹ng f(x) ∈ Z [x] lµ b˚t
kh¶ quy tr“n Q sao cho t¸p c‚c gi‚ trÞ {f(n) | n ∈ N , n > 0} cæa f(x) kh«ng
cª ›íc chung lín h‹n 1 th× f(n) lµ sŁ nguy“n tŁ víi v« h„n fiiÓm n ∈ N
(xem S. Lang [La, Trang 323]). Gi¶ thuyÕt nµy lµ mØt trong nhưng bµi to‚n
lín cæa LÝ thuyÕt sŁ ch›a fi›îc gi¶i quyÕt khi b¸c cæa f(x) lín h‹n 1.
Môc fiÝch chÝnh cæa lu¸n v¤n lµ tr×nh bµy mØt sŁ mŁi quan hÖ giưa sŁ
nguy“n tŁ vµ fia thłc b˚t kh¶ quy. Cô thÓ, nÕu mØt fia thłc b¸c d›‹ng (víi
hÖ sŁ nguy“n) nh¸n gi‚ trÞ nguy“n tŁ t„i v« h„n fiiÓm th× fia thłc fiª b˚t kh¶
quy tr“n tr›Œng hưu tß Q . Lu¸n v¤n quan t'm fiÕn c'u hÆi ng›îc l„i, nÕu mØt
fia thłc b˚t kh¶ quy th× nª cª nh¸n gi‚ trÞ nguy“n tŁ t„i v« h„n fiiÓm kh«ng.
NØi dung lu¸n v¤n chæ yÕu tr×nh bµy l„i c‚c kÕt qu¶ trong bµi b‚o ‘‘Prime
numbers and irreducible polynomials" cæa M. Ram Murty [Mu] vÒ mŁi li“n
hÖ giưa tÝnh b˚t kh¶ quy tr“n Q vµ gi‚ trÞ nguy“n tŁ cæa fia thłc víi hÖ sŁ
nguy“n. B“n c„nh fiª, lu¸n v¤n còng tr×nh bµy mØt sŁ tÝnh ch˚t cæa fia thłc
b˚t kh¶ quy t›‹ng tø nh› tÝnh ch˚t cæa sŁ nguy“n tŁ.
Lu¸n v¤n fi›îc viÕt chæ yÕu døa theo 4 tµi liÖu sau fi'y:
1. D. Cox, J. Little, D. O’Shea, Ideals, varieties, and algorithms, Springer-
Verlag, 2006 (Third Edition).
2. S. Lang, Algebra, 3rd edition, Addison-Wesley, Reading, 1993.3. M. Ram Murty,Prime numbers and irreducible polynomials, The Amer-
ican Math. Monthly, 109 (2002), 452-458.
4. J. Stillwell, Elements of Number Theory, Springer, 2003.
Lu¸n v¤n gåm 3 ch›‹ng. Ch›‹ng 1 tr×nh bµy l„i c‚c kh‚i niÖm c‹ b¶n cæa
fia thłc b˚t kh¶ quy, sø t›‹ng tø cæa fia thłc b˚t kh¶ quy víi sŁ nguy“n tŁ vµ
mØt sŁ ti“u chu¨n x—t tÝnh b˚t kh¶ quy cæa fia thłc tr“n tr›Œng Q . Ch›‹ng 2
tr×nh bµy vÒ kh‚i niÖm tr›Œng ph'n rã cæa fia thłc, tÝnh b˚t kh¶ quy cæa fia
thłc tr“n C vµ tr“n R . Ch›‹ng 3 lµ nØi dung chÝnh cæa lu¸n v¤n, tr×nh bµy
vÒ mŁi quan hÖ giưa tÝnh b˚t kh¶ quy vµ gi‚ trÞ nguy“n tŁ, trong ch›‹ng nµy
lu¸n v¤n còng chØ ra mØt ph›‹ng ph‚p kh‚c fiÓ x'y døng c‚c fia thłc b˚t kh¶
quy tr“n Q xu˚t ph‚t tı c‚c sŁ nguy“n tŁ.