Thạc Sĩ Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
NĂM 2011


MỤC LỤC
1 Phần chuẩn bị 4
1.1 Khái niệm và một vài tính chất của bất đẳng thức . 4
1.2 Một vài phương pháp chứng minh đơn giản . 8
1.3 Hàm lồi và Bất đẳng thức Jensen 27

2 Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất-nhỏ nhất 31
2.1 Phương pháp bất đẳng thức . 31
2.2 Phương pháp đa thức hai biến bậc hai 37
2.3 Phương pháp đạo hàm 40
2.3.1 Hàm một biến . 40
2.3.2 Hàm lồi 42
2.3.3 Hàm nhiều biến 45
2.4 Phương pháp hình học 47
2.5 Một số bài cực trị trong tam giác 50
2.5.1 Sử dụng hàm lượng giác . 50
2.5.2 Sử dụng nghiệm đa thức bậc ba . 52

3 Một số ứng dụng vào giải bài toán liên quan 66
3.1 Xây dựng lại một số bất đẳng thức cổ điển . 66
3.2 Giải phương trình và bất phương trình 71

MỞ ĐẦU
Bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất hay tìm cực trị một biểu thức đã có từ lâu, nhưng luôn xuất hiện trong mọi lĩnh vực của toán học. Trong chương trình toán phổ thông, bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trải dài ở hầu hết các cấp học, có mặt ở tất cả các bộ môn Số học, Đại số, Giải tích, Hình học và Lượng giác. Đặc biệt, trong kỳ thi Đại học, Học sinh giỏi quốc gia và quốc tế thường có bài xác định cực trị một biểu thức nào đó. Bởi vậy, bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất là một trong số những bài toán được rất nhiều người thuộc nhiều lĩnh vực quan tâm đến. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất một biểu thức rất phong phú, đa dạng, đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức và vận dụng sao cho hợp lý, đôi khi rất độc đáo. Hơn nữa, bài toán xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất còn liên quan đến sự đánh giá, tìm cái chặn hoặc xét xem biểu thức sẽ có tính chất gì khi nó đạt cực trị. Chính vì thế, phương pháp xác định giá trị lớn
nhất hay nhỏ nhất một biểu thức sẽ rất thiết thực đối với những ai muốn tìm hiểu sâu về toán sơ cấp. Để đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn toán ở bậc phổ thông, luận văn đã đặt vấn đề: Trình bày một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất một biểu thức. Qua đó luận văn cũng đưa ra việc vận dụng các kết quả đạt được để giải quyết một số bài toán liên quan. Nội dung của luận văn được chia ra làm ba chương.
Chương I dành để giới thiệu khái niệm và một vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức với các ví dụ tương thích.
Chương II dành để trình bày về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Đây là chương trọng tâm giới thiệu về các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Cụ thể mục 2.1 tập trung giới thiệu một số bài toán chọn lọc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phương pháp bất đẳng thức.
Mục 2.2 giới thiệu điều kiện đạt cực trị của hàm đa thức hai biến bậc hai và các ví dụ liên quan.
Mục 2.3 giới thiệu phương pháp đạo hàm tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đối với hàm một biến, hàm lồi, hàm nhiều biến và các sáng tác bài tập tương ứng.
Mục 2.4 giới thiệu một số bài toán tìm cự trị bằng phương pháp tọa độ điểm, tọa độ véc tơ hoặc dựa vào tính đặc biệt của hình học.
Mục 2.5 giới thiệu một số bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất qua vận dụng các hàm lượng giác và trình bày phương pháp sáng tác
một số bài toán cực trị trong tam giác qua đa thức bậc ba.
Chương III tập trung trình bày một vài ứng dụng các kết quả đạt được. Như chứng minh lại các bất đẳng thức cổ điển qua việc vận dụng khái niệm cực trị tiếp theo giới thiệu các ứng dụng bài toán cực trị trong việc giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình.