Thạc Sĩ Độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân

Mục lục
Lời cam đoan ii
Tóm tắt nội dung . iii
Lời cảm ơn iv
Danh sách ký hiệu . v
Mở đầu 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . 3
1.1. Các không gian thường dùng 3
1.1.1. Không gian metric . 3
1.1.2. Không gian tuyến tính định chuẩn . 6
1.1.3. Không gian Hilbert 8
1.1.4. Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 9
1.1.5. Không gian đối ngẫu 10
1.2. Ánh xạ đa trị 11
1.2.1. Định nghĩa . 11
1.2.2. Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị . 11
1.3. Các bài toán trong lý thuyết tối ưu . 13
Chương 2. Độ nhạy nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng.
15
2.1. Các khái niệm cơ bản 15
2.2. Các kết quả bổ trợ . 17
2.3. Các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng
phụ thuộc tham số 20
2.4. Các trường hợp đặc biệt 30
Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/i
2.5. Một vài ứng dụng 32
2.6. Kết luận . 35
Chương 3. Tính liên tục H¨older của nghiệm bài toán biến phân phụ
thuộc tham số 36
3.1. Tính liên tục H¨older của nghiệm của P(θ, λ) 37
3.2. Các kết quả bổ trợ . 39
3.3. Chứng minh Định lý 3.1 45
3.4. Kết luận . 50
Kết luận chung . 52
Tài liệu tham khảo . 53
Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ii
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi.
Thái Nguyên, ngày 30 tháng 05 năm 2015
Học viên
Trần Quang Huy
Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/iii
TÓM TẮT NỘI DUNG
Cũng giống như trong nhiều ngành toán học khác, các vấn đề chủ yếu được
nghiên cứu trong lý thuyết bất đẳng thức biến phân là sự tồn tại nghiệm, tính
liên tục của tập nghiệm theo tham số, và các thuật toán tìm nghiệm. Nội dung
chính trong luận văn này là bài toán dưới đây.
Xét H là một không gian Hilbert thực, M và Λ là hai tập tham số khác
rỗng lấy trong hai không gian định chuẩn nào đó, f : H × M → H là một ánh
xạ đơn trị, K : Λ → 2 H là một ánh xạ đa trị nhận giá trị là các tập lồi đóng,
khác rỗng. Xét bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số



Tìm x ∈ K(λ) sao cho
< f(x, µ), y ư x > ≥ 0 ∀y ∈ K(λ),
(0.1)
trong đó (µ, λ) ∈ M × Λ là cặp tham số của bài toán và < ·, · > là ký hiệu tích
vô hướng trong H. Với cặp tham số (µ, λ) ∈ M × Λ cho trước, ta có thể xem
(0.1) như là một bài toán nhiễu của bất đẳng thức biến phân dưới đây



Tìm x ∈ K(λ) sao cho
< f(x, µ), y ư x > ≥ 0 ∀y ∈ K(λ).
(0.2)
Giả sử x là một nghiệm của (0.2). Chúng ta muốn biết xem liệu (0.1) có thể có
nghiệm x = x(λ, µ) ở gần x khi (λ, µ) ở gần (λ, µ) hay không, và hàm x(µ, λ)
có dáng điệu như thế nào? Hay nói một cách khác là ta cần nghiên cứu độ nhạy
của nghiệm x đối với sự thay đổi của (µ, λ).
Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/iv
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Nguyễn Xuân
Tấn. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người
hướng dẫn khoa học của mình, GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, người đã đưa ra
đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng
thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong trường Đại học Khoa
học, Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ
tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời
cảm ơn đến gia đình, BGH trường THPT Nhân Chính và các bạn trong lớp
Cao học K7A trường Đại học Khoa học, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá
trình học tập và làm luận văn.
Thái Nguyên, 2015 Trần Quang Huy
Học viên Cao học Toán K7A,
Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên
Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/v
DANH SÁCH KÝ HIỆU
Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định trong
bảng dưới đây:
B(a, r) Hình cầu mở tâm a, bán kính r
B(a, r) Hình cầu đóng tâm a, bán kính r
B X Hình cầu đơn vị trong X
A δ Tập những điểm cách A không quá δ
d(A, B) Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B
|| · || Chuẩn
U x 0
Lân cận của x 0
X
∗
Không gian đối ngẫu của X
F : X ⇒ Y Ánh xạ đa trị từ X vào Y
N K (x) Nón pháp tuyến của tập K tại x
∂ϕ(x) Dưới vi phân của ϕ tại x
dom G Miền hữu hiệu của G
graf G Đồ thị của G
Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/1
MỞ ĐẦU
Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đã ra đời cách đây hơn 50 năm với các
công trình quan trọng của G. Stampacchia, P. Hartman, G. Fichera, J. L. Lions
và F.E. Brower. Trong suốt thời gian đó, lý thuyết này đã thu hút được sự quan
tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nước. Đã có rất nhiều những bài báo,
những cuốn sách đề cập bất đẳng thức biến phân và ứng dụng của chúng. Hiện
nay, những bài toán phụ thuộc tham số đang được các nhà toán học và các
nhà khoa học trong những chuyên ngành khác quan tâm nghiên cứu rất nhiều.
Những kết quả đó đã được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực. Vậy lý thuyết
biến phân nghiên cứu vấn đề gì? Sau đây, chúng tôi xin đưa ra một số bài toán
của bất đẳng thức biến phân.
Giả sử K là một tập lồi đóng trong một không gian định chuẩn X, và
f : K → X
∗
là một ánh xạ đơn trị từ K vào không gian đối ngẫu X
∗
của X.
Bài toán “Tìm x ∈ K sao cho < f(x), x ư x > ≥ 0 với mọi x ∈ K” được gọi là
bất đẳng thức biến phân xác định bởi toán tử f trên tập K.
Nếu F : K → 2 X
∗
là một ánh xạ đa trị từ K vào X
∗
thì bài toán “Tìm
x ∈ K sao cho tồn tại x
∗ ∈ F(x) thỏa mãn < x
∗
, x ư x > ≥ 0 với mọi x ∈ K”
được gọi là bất đẳng thức biến phân suy rộng xác định bởi tập K và toán tử F.
Khi toán tử f(F) phụ thuộc tham số µ và tập hạn chế K phụ thuộc tham số
λ nào đó thì bài toán trên được gọi là bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham
số (hay tương ứng là bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc tham số). Ở
đây, (µ, λ) là cặp tham số của bài toán.
Bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số và bất đẳng thức biến phân
suy rộng phụ thuộc tham số, cùng với các ứng dụng khác nhau của chúng là nội
dung chính trong luận văn này.
Luận văn bao gồm ba chương:
Soá hoùa bôûi Trung taâm Hoïc lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/2
ã Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả quen thuộc của các
không gian được dùng trong luận văn này; các khái niệm và một số kết quả của
ánh xạ đa trị; nhắc lại bài toán tối ưu.
ã Chương 2. Độ nhạy nghiệm của bài toán biến phân suy rộng.
Chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản; các kết quả phụ trợ;
các tính chất liên tục của nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng phụ thuộc
tham số; các trường hợp đặc biệt và các ứng dụng.
ã Chương 3. Tính liên tục H¨older của nghiệm bài toán biến phân
phụ thuộc tham số.
Trong chương này, chúng tôi trình bày các tính chất liên tục H¨older của
nghiệm của P(θ, λ); các kết quả bổ trợ sẽ dùng trong chứng minh các định lý
chính; cuối cùng là các kết quả về tính liên tục kiểu Lipchitz - H¨older của ánh
xạ nghiệm theo tham số.
Thái Nguyên, tháng 05 năm 2015
Trần Quang Huy
Học viên Cao học Toán K7A
Chuyên ngành Toán ứng dụng
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên