Luận Văn Độ đo Radon và định lý biểu diễn Riesz

LỜI NÓI ĐẦU
Độ đo và tích phân Lebesgue là một trong những nội dung khá quan
trọng của giải tích. Việc xây dựng độ đo xuất phát từ vấn đề: Trên đường
thẳng, có những tập được gán một số không âm gọi là độ dài, chẳng hạn như
độ dài đoạn thẳng. Nhưng cũng có những tập mà trực quan ta không biết được
độ dài của nó xác định như thế nào, chẳng hạn như tập những số hữu tỉ trong
đoạn [0, 1]. Người ta đã xây dựng lý thuyết độ đo để có thể đo được những tập
như thế.
Về tích phân Riemann, tích phân này có một số hạn chế. Với tích phân
này, nhiều vấn đề của giải tích đã không được giải quyết một cách thỏa đáng,
chẳng hạn vấn đề qua giới hạn dưới dấu tích phân.
Tuy nhiên những vấn đề kể trên đã được trình bày rõ trong một số giáo
trình nên trong khuôn khổ của bản khoá luận này tôi không trình bày lại. Bạn
đọc quan tâm có thể tham khảo “ Hàm Thực & Giải Tích Hàm ” của Hoàng
Tụy.
Trong bản khóa luận tôi trình bày về một độ đo mới mà với độ đo này thì
độ đo của một tập Borel có thể được xấp xỉ bằng độ đo của các tập compact,
đó là độ đo Radon. Đối với độ đo Radon ta có một tính chất khá thú vị, thể
hiện ở định lý Lusin, ý nghĩa của định lý này là ta có thể xấp xỉ một hàm đo
được bằng một hàm liên tục, điều này rất quan trọng trong việc tính tích phân
của một hàm đo được. Tôi cũng trình bày về mối quan hệ giữa một độ đo
Radon trên một không gian mêtric có một dãy vét cạn compact với một phiếm
hàm tuyến tính dương trên không gian các hàm số thực liên tục có giá
compact. Một độ đo Radon sinh ra một phiếm hàm tuyến tính dương trên
không gian các hàm số thực liên tục có giá compact, nhưng điều ngược lại có
đúng không ? Điều này sẽ được khẳng định trong định lý biểu diễn Riesz.
Nội dung bản khoá luận gồm có 3 chương:
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về độ đo và tích phân
Lebesgue gồm một số định nghĩa và định lý làm cơ sở cho các chương sau. Do
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 2
đây không phải là nội dung chính nên một số kết quả không được chứng
minh.
Chương 2: ĐỘ ĐO RADON VÀ ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ
Đây là nội dung chính của bản luân văn. Chương này nói về định nghĩa độ
đo Radon, một số tính chất của nó và trình bày chứng minh chi tiết định lý
biểu diễn Riesz.
Chương 3: MỘT ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ
Đây là chương cuối, trình bày một áp dụng của định lý biểu diễn Riesz.
Do nhiều nguyên nhân, một trong những nguyên nhân đó là lần đầu tiên tôi
làm một bài nghiên cứu khoa học và cũng hạn chế về thời gian, trình độ nên
những thiếu sót chắc chắn không thể tránh khỏi. Rất mong nhận được ý kiến
đóng góp từ quý thầy cô và các bạn.
An Giang, tháng 05 năm 2008
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Anh Đào
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 3
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 1
MỤC LỤC .3
CÁC KÝ HIỆU .4
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .5
1. ĐỘ ĐO .5
1.1. Đại số tập hợp .5
1.2. σ - Đại số tập hợp .5
1.3. Hàm tập hợp cộng tính 6
1.4. Độ đo có dấu .6
1.5. Độ đo dương 8
1.6. Không gian độ đo 9
1.7. Độ đo ngoài .9
2. TÍCH PHÂN LEBESGUE 12
2.1. Hàm số đo được 12
2.2. Tích phân Lebesgue 15
Chương 2. ĐỘ ĐO RADON VÀ ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ 24
1. ĐỘ ĐO RADON .24
1.1. Định nghĩa .24
1.2. Một số tính chất của độ đo Radon .25
2. ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ 32
2.1. Định lý biểu diễn Riesz .33
2.2. Bổ đề .35
Chương 3. MỘT ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ .41
1. Định nghĩa 41
2. Định lý 41
3. Định lý 42
KẾT LUẬN .44
PHỤ LỤC 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO .46