Thạc Sĩ Độ đo Monge-Ampére trên các tập đa cực và phương trình Monge-Ampére phức

iii
MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN . i
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iii
MỞ ĐẦU . 1
1. Lý do chọn đề tài . 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2
3. Phương pháp nghiên cứu . 2
4. Bố cục của luận văn . 2
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
1.1. Hàm đa điều hoà dưới . 3
1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại 6
1.3. Toán tử Monge-Ampère phức 10
Chương 2. ĐỘ ĐO MONGE-AMPÈRE TRÊN CÁC TẬP ĐA CỰC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC 16
2.1. Một vài định nghĩa và kết quả 166
2.2. Một vài kết quả xấp xỉ 19
2.3. Độ đo Monge-Ampère trên các tập đa cực và phương trình Monge-
Ampère phức . 27
KẾT LUẬN . 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 40

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Xét phương trình Monge-Ampère phức ( ) c n dd u , trong đó là độ
đo Radon không âm và ( .) c n dd là toán tử Monge-Ampère phức. Ta biết rằng
nếu đặt khối lượng trên tập đa cực, thì nghiệm đối với phương trình
( ) c n dd u nói chung là không duy nhất [13]. Vì thế câu hỏi về sự tồn tại
nghiệm của phương trình luôn nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều
người. Kết quả đầu tiên thuộc về Lempert L. [10] (1983) đạt được trong trường
hợp khi giá của độ đo đã cho là điểm đơn. Lempert đã xét nghiệm với giá trị
biên giải tích thực và với kỳ dị logarit gần với giá của độ đo. Tiếp đó, Celic H.
I., và Poletsky E. A. [7] (1997) nghiên cứu phương trình Monge-Ampère với
độ đo Dirac. A. Zeriahi [13] (1997) đã chứng minh rằng phương trình Monge-
Ampère phức giải được đối với các giá trị biên liên tục. Xing Y. [12] (1999) đã
tổng quát kết quả của Zeriahi A. trong trường hợp các giá trị biên đã cho là
đồng nhất 0. Xing đã xét các độ đo xác định bởi tổng của tổ hợp tuyến tính của
một số đếm được các độ đo Dirac với giá compact và độ đo Monge-Ampère
chính qui đã biết. Chúng ta sẽ xét lớp , đó là lớp lớn nhất các hàm đa điều
hoà dưới không âm được xác định trên miền siêu lồi , mà đối với nó toán tử
Monge-Ampère phức xác định tốt lớp đã được Cegrell phát triển và nghiên
cứu trong các công trình nền tảng [4] [5] . Chúng ta sẽ chứng minh rằng trong
lớp năng lượng phương trình Monge-Ampère phức có nghiệm đối với lớp
các độ đo kỳ dị rộng hơn so với Zeriahi A. và Xing Y.
Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: "Độ đo Monge-Ampère
trên các tập đa cực và phương trình Monge-Ampère phức".

2
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc
nghiên cứu về toán tử Monge-Ampère trên các tập đa cực và giải phương trình
Monge-Ampère trong lớp năng lượng với phần kỳ dị khá lớn.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
- Nghiên cứu một số tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều
hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère.
- Nghiên cứu về xấp xỉ hàm đa điều hoà dưới trong lớp năng lượng ,
toán tử Monge-Ampère trên các tập đa cực và giải phương trình Monge-
Ampère trong .
3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp
của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 40 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của
hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên
cứu về về xấp xỉ hàm đa điều hoà dưới trong lớp năng lượng , toán tử Monge-
Ampère trên các tập đa cực và giải phương trình Monge-Ampère trong .
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.