Thạc Sĩ Định lý thác triển Hartogs đối với các ánh xạ chỉnh hình tách biến

Thác triển ánh xạ chỉnh hình là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Những kết quả cơ bản trong lĩnh vực này gắn liền với các tên tuổi như Riemann, Hartogs, Cartan, Oka, Ngày nay, nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn tiếp tục quan tâm đến vấn đề trên bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết được những bài toán cụ thể đặt ra trong lĩnh vực đó.

Như chúng ta đã biết định lý cổ điển của Hartogs khẳng định rằng mỗi hàm chỉnh hình tách biến trên một miền D trong n là chỉnh hình. Đây là một trong số những kết quả quan trọng của giải tích phức nhiều biến. Vì thế, việc mở rộng định lý Hartogs đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Hướng nghiên cứu này đã phát triển trong lý thuyết của các ánh xạ chỉnh hình tách và đạt được nhiều kết quả đẹp. Có một thời gian hướng nghiên cứu này bị gián đoạn, sau đó được khôi phục vào những năm 50, 60 của thế kỷ 20. Siciak đã có đóng góp đáng kể trong sự phát triển của hướng nghiên cứu này.

Ông đã đưa ra một tổng quát hoá quan trọng mà để chứng minh được thì vấn đề mấu chốt là phải xác định bao chỉnh hình của các hàm chỉnh hình tách biến trên các tập chữ thập. Sử dụng hàm cực trị tương đối, Siciak đã chứng minh được định lý trong trường hợp tập chữ thập gồm tích các miền trong . Các bước nghiên cứu tiếp theo đã được khởi đầu bởi Zahariuta năm 1976, sau đó là Nguyễn Thanh Vân và Zeriahi. Shiffman đã là người đầu tiên tổng quát hoá một số kết quả của Siciak đối với các ánh xạ chỉnh hình tách với các giá trị trong không gian giải tích phức (xem [15]) . Trong bài báo của Alehyane và Zeriahi (xem [3]) có thể xác định bao chỉnh hình của tập chữ thập bất kỳ là tích các miền con của các đa tạp Stein của độ đo đa điều hoà dưới. Nguyễn Việt Anh tổng quát hoá kết quả của Alehyane – Zeriahi cho tập chữ thập là tích các đa tạp phức tuỳ ý. Chủ yếu ông sử dụng lý thuyết Poletsky về các đĩa (xem [12], [13]), định lý của Rosay trên các đĩa chỉnh hình (xem[14]) và định lý Alehyane – Zeriahi (xem[3]). Kỹ thuật quan trọng khác là sử dụng các tập mức của độ đo đa điều hoà dưới. Kỹ thuật này được giới thiệu lần đầu tiên trong thời gian gần đây bởi sự kết hợp của Plug và Nguyễn Việt Anh. Hơn nữa, nhờ kỹ thuật này người ta đã giải quyết được các vấn đề phát sinh từ lý thuyết của các ánh xạ chỉnh hình tách và các ánh xạ phân hình.