Tài liệu định lý schur và các phần đảo

ĐỊNH LÝ SCHUR VÀ CÁC PHẦN ĐẢO SCHUR’S THEOREM AND CONVERSES




TÓM TẮT
Cho G là một nhóm, Z(G) và [ G, G ] lần lượt là nhóm con tâm và nhóm con giao hoán tử của G. Năm 1904, I. Schur đã chứng minh được rằng: Nếu nhóm thương G/Z(G) hữu hạn, thì nhóm [ G, G ] hữu hạn. Kết quả này có nhiều ứng dụng trong lý thuyết nhóm và được gọi là Định lý Schur. Phần đảo của định lý Schur nói chung là không đúng, chẳng hạn các p – nhóm quá đặc biệt vô hạn, với p là một số nguyên tố lẻ. Mục đích chính của bài báo này là tìm hiểu định lý Schur và các phần đảo của nó, được phát biểu và chứng minh bởi 4 tác giả khác nhau. Đây là một mảng kiến thức về lý thuyết nhóm, rất bổ ích cho sinh viên ngành Toán, mà vốn chưa được học trong chương trình đào tạo.
Từ khóa: nhóm, nhóm con tâm, nhóm con giao hoán tử, định lý Schur, các p-nhóm quá
đặc biệt vô hạn.
ABSTRACT
Let G be a group, Z(G) and [ G, G ] denote the center and the commutator subgroup of G. In 1904, I. Schur proved that if G/Z(G) is finite, then [ G, G ] is finite. This result has many applications in group theory and is called Schur’s theorem. The conver of Schur’s theorem is generally not true, such the p-group too special the infinite, with p is a prime retail. The main purpose of this paper is to explore the Schur’s theorem and converses of it; be stated and proven by four different authors. This is an array of knowledge about group theory, very usefull for the students mathematics, that which has not been studied in the training program.
Key words: group, the center subgroup, the commutator subgroup, Schur’s theorem, the
p-group too special the infinite.






1. Mở đầu


Cho G là một nhóm, Z(G) và [ G, G ] lần lượt là nhóm con tâm và nhóm con giao hoán tử của G. Năm 1904, I. Schur đã chứng minh được rằng: Nếu nhóm thương G/Z(G) hữu hạn, thì nhóm [ G, G ] hữu hạn. Kết quả này có nhiều ứng dụng trong lý thuyết nhóm và được gọi là Định lý Schur. Phần đảo của định lý Schur nói chung là không đúng, chẳng hạn các p – nhóm quá đặc biệt vô hạn, với p là một số nguyên tố lẻ. Năm 1951, B. H. Neumann [3] đã chứng minh được: Nếu nhóm G hữu hạn sinh và Z2(G) hữu hạn thì nhóm G/Z(G) hữu hạn. Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu phần đảo của Định lý Schur đã được sự quan tâm của nhiều nhà toán học, chẳng hạn năm 2010, P. Niroomand [4] đã có chứng minh: Nếu [ G, G ] hữu hạn và G/Z(G) hữu hạn sinh thì nhóm G/Z(G) hữu hạn. Kết quả này của P. Niroomand đã được tổng quát hơn nữa bởi B. Sury [6] ( năm 2010 ) và bởi
M. K. Yadav [9] ( năm 2011 ).



2. Định lý Schur và các phần đảo


2.1. Định lý Schur Đối với một nhóm G thì tính hữu hạn của G/Z(G) kéo theo tính hữu hạn của [ G, G ].
2.2. Các phần đảo của định lý Schur


2.2.1. Định lý [3] Nếu G là một nhóm hữu hạn sinh sao cho [ G, G ] là hữu hạn thì G/Z(G) là hữu hạn.
2.2.2. Định lý [4] Cho G là một nhóm tùy ý sao cho d(G/Z(G)) và [ G, G ] là hữu hạn, khi đó d(G/Z(G)), trong đó d(X) là số phần tử sinh nhỏ nhất của nhóm X.
Chứng minh