Thạc Sĩ Định lý LEVY-STEINITZ về miền tổng của chuỗi

Đề tài: Định lý LEVY-STEINITZ về miền tổng của chuỗi
LỜI CẢM ƠN
Qua luận văn này em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Đậu
Thế Cấp, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp em tích lũy những
kinh nghiệm bổ ích để hoàn thành luận văn này.
Trong suốt quá trình học tập, em đã nhận được những kiến thức
quý báu từ các thầy cô trong khoa Toán-Tin trường Đại học Sư Phạm
Tp.HCM và trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên. Qua luận văn này em
xin gửi đến các thầy cô lòng tri ân thành kính nhất.
Cuối cùng, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại
phòng KHCN-SĐH đã giúp em rất nhiều trong quá trình học tập và khi
thực hiện luận văn này.
***********************
Phạm Ngọc TuấnMỤC LỤC
trang
MỞ ĐẦU 1
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1 Ánh xạ hạch và không gian hạch . 5
1.2 Các kiến thức cơ bản về chuỗi . 12
1.3 Một số kiến thức bổ sung . 13
Chương 2 ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZ TRONG KHÔNG
GIAN HỮU HẠN CHIỀU 15
Chương 3 ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZ TRONG KHÔNG
GIAN VECTƠ TÔPÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG KHẢ
MÊTRIC 24
Chương 4 ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZ TRONG KHÔNG
GIAN HẠCH 36
KẾT LUẬN 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO 511
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết chuỗi đóng một vai trò quan trọng trong giải tích toán học.
Các loại chuỗi khác nhau như chuỗi số, chuỗi hàm hay chuỗi vectơ được
áp dụng khá nhiều trong các lĩnh vực toán học như là công cụ để xấp xỉ
một số đối tượng toán học. Ví dụ như chuỗi lũy thừa cho phép ta xấp
xỉ các hàm giải tích bằng các đa thức. Nhờ có chuỗi Fourier các hàm
tuần hoàn có thể được xấp xỉ bởi các đa thức lượng giác hoặc đa thức
mũ. Nghiệm của các bài toán vật lý, hóa học . được trình bày dưới dạng
chuỗi của các hàm đặc biệt.
Trong giải tích, khái niệm chuỗi nảy sinh khi lấy tổng của vô hạn
phần tử và các tính chất đơn giản nhất của tổng hữu hạn cũng đúng
trên chuỗi. Ngoại trừ tính chất giao hoán, khi thay đổi thứ tự các số
hạng trong một chuỗi thì tổng có thể thay đổi. Hai câu hỏi được đặt
ra là: thứ nhất, đối với những chuỗi nào tổng của chuỗi sẽ không thay
đổi khi thay đổi thứ tự các phần tử của tổng; thứ hai, nếu tổng của
chuỗi thay đổi thì sẽ thay đổi như thế nào? Hai câu hỏi trên được đặt ra
và được giải quyết bởi Riemann đối với chuỗi số thực. Cụ thể trong R
miền tổng của chuỗi hoặc chỉ là một điểm hoặc toàn bộ R. Trong không
gian hữu hạn chiều (với số chiều lớn hơn 1) Levy-Steinitz đã chứng minh
định lý "Giả sử chuỗi
P∞
i=1
xi hội tụ về s trong không gian m chiều E.2
Khi đó miền tổng của chuỗi
P
xi
là đa tạp n chiều (n ≤ m), cụ thể là
DS(
P
xi) = s + Γ◦". Định lý này cho ta một miêu tả đầy đủ về miền
tổng của chuỗi hội tụ là một đa tạp tuyến tính, lồi và đóng. Sau đó
W. Banasczyk, J. Bonet, A. Defant . đã chứng minh các kết quả tương
tự Định lý Levy-Steinitz trong không gian vô hạn chiều. Nhận thấy ý
nghĩa của Định lý Levy-Steinitz, chúng tôi chọn "Định lý Levy-Steinitz
về miền tổng của chuỗi" làm chủ đề cho luận văn thạc sĩ.
2. Mục đích
Nghiên cứu Định lý Levy-Steinitz trong không gian hữu hạn chiều và
các định lý tương tự Định lý Levy-Steinitz trong không gian vô hạn chiều
với điều kiện thu hẹp được đặt lên chuỗi hoặc lên không gian.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trong luận văn này chúng tôi sẽ trình bày miền tổng của chuỗi trong
không gian R
n
, không gian vectơ tôpô lồi địa phương khả mêtric (kèm
theo điều kiện được đặt lên chuỗi) và không gian hạch. Luận văn gồm
4 chương, chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian
hạch, chuỗi và một số kiến thức bổ sung. Trong chương 2 trình bày Định
lý Levy-Steinitz trong không gian hữu hạn chiều R
n
. Giả sử
P∞
k=1
xk là
một chuỗi trong không gian R
n
. Theo Định lý Riemann, nếu n = 1 thì
DS(
P∞
k=1
xk) = R với mọi chuỗi hội tụ có điều kiện trong R. Nhưng khi
n > 1, miền tổng của chuỗi hội tụ có điều kiện thì không nhất thiết là
toàn bộ không gian. Chẳng hạn, nếu tất cả các số hạng của một chuỗi3
hội tụ có điều kiện điều phụ thuộc tuyến tính vơi vectơ e thì miền tổng
của chuỗi vẫn phụ thuộc tuyến tính với e. Trong trường hợp này miền
tổng của chuỗi là đường thẳng đi qua 0 và e. Định lý Levy-Steinitz cho
chúng ta một mô tả đầy đủ về miền tổng của chuỗi trong không gian
hữu hạn chiều (miền tổng của chuỗi là một đa tạp tuyến tính, và do
đó đóng và lồi). Trong không gian vô hạn chiều chúng ta mong muốn
có những kết quả tương tự Định lý Levy-Steinitz. Tuy nhiên chúng ta
không thể dùng các kết quả trong không gian hữu hạn chiều để áp lên
không gian vô hạn chiều. Trong [6] có những ví dụ về miền tổng của
chuỗi hội tụ có điều kiện trong không gian vô hạn chiều có thể chỉ là
một điểm; không lồi; không đóng hoặc không tuyến tính . Vì vậy để đạt
được định lý tương tự Định lý Levy-Steinitz ta cần phải đặt thêm điều
kiện lên chuỗi hoặc lên không gian. Trong chương 3, ta sẽ chứng minh
kết quả tương tự Định lý Levy-Steinitz trong không gian vectơ tôpô lồi
địa phương khả mêtríc với điều kiện thu hẹp được đặt lên chuỗi: điều
kiện (σ, θ). Một chuỗi
P
ai trong không gian vectơ tôpô E được gọi là
thỏa điều kiện (σ, θ) nếu với mọi phép hoán vị σ : N → N, luôn tồn tại
một dãy (θi)
∞
i=1 với θi ∈ {ư1, 1} sao cho chuỗi
P∞
i=1
aσ(i)θi hội tụ trong
E. Trong chương 4, ta sẽ chứng minh Định lý Levy-Steinitz đúng trong
không gian hạch khả mêtric mà không cần bất cứ điều kiện gì đặt lên
chuỗi.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Định Lý Levy-Steinitz cho ta một cái miêu tả đầy đủ về miền tổng của4
chuỗi trong không gian hữu hạn chiều. Hơn nữa Định lý Levy-Steinitz là
tiền đề cho các nhà toán học có cơ sở để nghiên cứu sâu hơn miền tổng
của chuỗi hay tổng quát hơn là chuỗi trong không gian vô hạn chiều.5
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Ánh xạ hạch và không gian hạch
Cho E và Eα(α ∈ A) là các không gian vectơ trên trường K, fα ánh xạ
tuyến tính từ E vào Eα, và Tα là một tôpô lồi địa phương trên Eα(α ∈ A).
Tôpô xạ ảnh T trên E tương ứng với họ {(Eα, Tα, fα) : α ∈ A} là tôpô
thô nhất trên E sao cho mỗi ánh xạ fα(α ∈ A) từ E vào (Eα, Tα) là liên
tục.
Từ định nghĩa trên ta có nếu x ∈ E và xα = fα(x) ∈ Eα thì một cơ sở
T -lân cận của x được cho bởi họ
T
α∈H f
ư1
α
(Uα), với Uα là lân cận tùy ý
của xα tương ứng với Tα và H là một tập con hữu hạn tùy ý của A. Vì
fα là các ánh xạ tuyến tính và Tα là tôpô lồi địa phương trên Eα nên T
là tôpô lồi địa phương trên E.
Định lý 1.1 [8] Tôpô xạ ảnh trên E tương ứng với họ {(Eα, Tα, fα) :
α ∈ A} là tôpô Hausdorff nếu và chỉ nếu với mỗi 0 =6 x ∈ E, tồn tại
α ∈ A và một lân cận Uα của 0 trong Eα sao cho fα(x) ∈/ Uα.6
Định lý 1.2 [8] Một ánh xạ u từ không gian vectơ F vào không gian
vectơ E, với tôpô trên E là tôpô xạ ảnh cảm sinh bởi họ {(Eα, Tα, fα) :
α ∈ A}, là liên tục nếu và chỉ nếu với mỗi α ∈ A, fα ◦ u liên tục từ F
vào (Eα, Tα).
Cho A là một tập chỉ số cùng với một quan hệ thứ tự ” ≦ ”. Cho
{Eα : α ∈ A} là họ không gian lồi địa phương trên K và với α ≦ β, gαβ
là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ Eβ vào Eα. E là không gian con của
Q
α Eα thỏa với mỗi x = (xα) ∈ E thì xα = gαβ(xβ) với mọi α ≦ β; E
được gọi là giới hạn xạ ảnh của họ {Eα : α ∈ A} tương ứng với các ánh
xạ gα,β(α, β ∈ A; α ≦ β), và ký hiệu là lim
←
gαβ(Eβ). Hiển nhiên rằng tôpô
trên E là tôpô xạ ảnh trên E tương ứng với họ {(Eα, Tα, fα) : α ∈ A}
với Tα là tôpô trên Eα và fα là thu hẹp của lên E của ánh xạ chiếu
pα :
Q
β
: Eβ → Eα.
Định lý 1.3 [8] Giới hạn xạ ảnh của một họ các không gian lồi địa
phương tựa đầy đủ (đầy đủ) là tựa đầy đủ (đầy đủ).
Định lý 1.4 [8] Mỗi không gian vectơ tôpô lồi địa phương đầy đủ E thì
đẳng cấu với giới hạn xạ ảnh của một họ các không gian Banach; họ này
có thể được chọn sao cho lực lượng của nó bằng với lực lượng của cơ sở
lân cận 0 của E.
Hệ quả 1.1 [8] Mỗi không gian Frechet thì đẳng cấu với giới hạn xạ ảnh
một một dãy các không gian Banach.7
Hệ quả 1.2 [8] Mỗi không gian lồi địa phương thì đẳng cấu với một
không gian con của một tích các không gian Banach.
Cho E là không gian vectơ trên trường K và V là một tập lồi, cân và
hấp thụ của E. Khi đó {n
ư1
V : n ∈ N} là một cơ sở lân cận của tôpô
lồi địa phương ℑV trên E. Không gian vectơ tôpô Haudorff kết hợp với
(E, ℑV ) là không gian thương (E, ℑV )/p
ư1
(0), với p là hàm cở của V ;
không gian thương này là khả chuẩn với chuẩn xˆ → ||xˆ|| = p(x), x ∈ xˆ.
Ta ký hiệu EV là không gian định chuẩn (E/p
ư1
(0), ||.||) vừa mới giới
thiệu ở trên và E˜
V là đầy đủ hóa của nó (E˜
V là không gian Banach).
Nếu E là không gian lồi địa phương và V là lân cận lồi cân thì tôpô
của không gian thương E/p
ư1
(0) mịn hơn tôpô của EV . Do vậy ánh xạ
thương (ánh xạ chính tắc) là liên tục từ E vào E˜
V ; ký hiệu ánh xạ này
là ΦV .
Đối ngẫu lại, nếu E là không gian lồi địa phương và B =6 ∅ là tập lồi,
cân và bị chặn của E thì E1 =
S∞
n=1 nB là không gian con của E. Hàm cở
pB của B trong E1 là một chuẩn trên E1; Không gian định chuẩn (E1, pB)
được ký hiệu là EB. Rõ ràng phép nhúng (chính tắc) ΨB : EB → E là
liên tục. Hơn nữa nếu B đầy đủ trong E thì EB là không gian đầy đủ.
Trong trường hợp V = B là tập lồi, cân, hấp thụ và bị chặn thì EV và
EB là đồng nhất.
Nếu U và V là các tập lồi, cân và hấp thụ của E với các hàm cở
tương ứng p, q và thỏa U ⊂ V , thì p
ư1
(0) ⊂ q
ư1
(0) và mỗi lớp tương
đương xˆ mod p
ư1
(0) được chứa trong duy nhất một lớp tương đương
yˆ mod q
ư1
(0); xˆ → yˆ là một ánh xạ tuyến tính ΦV,U và gọi là ánh xạ