Thạc Sĩ Định lý Hahn - Banach và ứng dụng

Đề tài: Định lý Hahn - Banach và ứng dụng
LỜI CẢM ƠN
Qua luận văn này, em xin bày tỏ sự biết ơn của mình đến PGS. TS.
Đậu Thế Cấp, người thầy, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn
thành luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô đã hướng dẫn, giảng dạy và
truyền đạt kiến thức cho em trong suốt quá trình đào tạo.
Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến bạn bè và đồng nghiệp đã có những
ý kiến đóng góp cho luận văn này. MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU . 1
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. Tập hợp 2
1.2. Không gian vectơ . 3
1.3. Không gian tôpô . 4
1.4. Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương . 5
1.5. Chuẩn – Không gian định chuẩn 6
1.6. Toán tử tuyến tính – Không gian liên hợp . 6
Chương 2. ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH
2.1. Sơ chuẩn và nửa chuẩn . 10
2.2. Định lý Hahn – Banach dạng mở rộng . 11
2.3. Định lý Hahn – Banach về tách các tập lồi . 20
2.4. Định lý Hahn – Banach dạng hình học . 23
Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ HAHN – BANACH
3.1. Bất đẳng thức không tương thích . 31
3.2. Hàm liên hợp 38
3.3. Các định lý đối ngẫu . 42
3.4. Bài toán cực trị 47
KẾT LUẬN 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 MỞ ÐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nếu không có định lý Hahn – Banach thì cấu trúc của giáo trình Giải tích hàm
rất khác so với ngày nay như ta đã biết. Định lý Hahn – Banach là một trong ba
định lý quan trọng và cơ bản nhất của Giải tích hàm, là định lý mạnh về sự tồn
tại mà dạng của nó đặc biệt thích hợp những vấn đề tuyến tính với một lượng lớn
ứng dụng thực tiễn quan trọng. Định lý Hahn – Banach là một định lý rất được
các nhà Giải tích học ưa chuộng. Mục đích của luận văn là trình bày hai lớp định
lý được biết rộng rãi có tên là Định lý Hahn – Banach dưới dạng mở rộng (dạng
giải tích) và Định lý Hahn – Banach dưới dạng tách – dạng hình học, và chúng
đều khẳng định chắc chắn sự tồn tại của một phiếm hàm tuyến tính cùng với
những đặc tính nào đó. Cả hai dạng của định lý Hahn – Banach tương đương
nhau về mặt toán học. Phần cuối của luận văn trình bày một số áp dụng của định
lý Hahn – Banach trong lý thuyết đối ngẫu và bài toán cực trị. Chúng tôi chọn đề
tài này để tìm hiểu sâu về định lý Hahn – Banach.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu các dạng định lý Hahn – Banach, xem xét một số ứng dụng của nó.
3. Đối tượng nghiên cứu
Định lý Hahn – Banach.
4. Phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết hàm và giải tích hàm.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
Luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo để hiểu sâu thêm về định lý Hahn –
Banach.