Thạc Sĩ Định giá quyền chọn trong toán học tài chính

Đề tài: Định giá quyền chọn trong toán học tài chính
BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
⋆⋆⋆
Đặng Thị Kiêm Hồng
ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
TRONG TOÁN HỌC TÀI CHÍNH
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN CHÍ LONG
Thành phố Hồ Chí Minh - 2011LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của luận văn này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn TS.Nguyễn Chí Long - người thầy đã tận tình hướng dẫn em trong quá
trình hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô
giáo trong khoa Toán-Tin học, phòng Sau đại học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng
em trong suốt quá trình học tập tại trường.
Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học Giải tích khóa 19,
chuyên ngành Giải tích đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp. Tôi
cũng xin cảm ơn các tác giả đã viết sách giúp tôi có nguồn tài liệu tham khảo quý
giá trong quá trình tìm hiểu về Toán học tài chính.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 7 năm 2011
Học viên
Đặng Thị Kiêm HồngMục lục
Lời nói đầu . 4
Chương 1. Một số kiến thức về giải tích ngẫu nhiên 5
1.1. Không gian xác suất 5
1.1.1. Định nghĩa . 5
1.1.2. Các khái niệm hội tụ . 6
1.2. Quá trình ngẫu nhiên . 6
1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên 6
1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc . 7
1.2.3. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ- đại số . 8
1.2.4. Xác suất có điều kiện 9
1.2.5. Mac-tin-gan . 10
1.2.6. Quá trình Wiener (chuyển động Brown) 14
1.3. Tích phân ngẫu nhiên Itô 15
1.3.1. Nhắc lại một số kiến thức Giải tích . 15
1.3.2. Một số khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên 16
1.3.3. Tích phân ngẫu nhiên Ito 17
1.4. Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô . 26
1.4.1. Vi phân Itô 26
1.4.2. Công thức Itô 27
1.4.3. Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên 28
1.4.4. Công thức tích phân từng phần 29
1.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên 29
Chương 2. Mô hình tài chính cơ bản . 31
2.1. Giới thiệu mô hình 31
2.2. Các khái niệm cơ bản 34
2.2.1. Phương án đầu tư 34
2.2.2. Phương án đầu tư tự điều chỉnh 34
2.2.3. Phương án đầu tư chênh lệch thị giá 37
2.2.4. Sản phẩm phái sinh . 38
22.2.5. Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ . 39
2.3. Biến đổi độ đo xác suất và định lí Girsanov . 41
2.3.1. Các độ đo xác suất tương đương . 41
2.3.2. Định lí Girsanov . 42
2.4. Định lí biểu diễn Mac-tin-gan 45
2.5. Sự đầy đủ . 49
2.6. Công thức Black-Scholes định giá và bảo hộ quyền chọn kiểu Châu Âu
52
2.6.1. Định giá quyền chọn mua và bán . 54
2.6.2. Bảo hộ quyền chọn mua và bán 56
2.6.3. Phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes . 58
2.7. Định lí cơ bản trong toán tài chính . 60
Phụ lục 62
Kết luận . 65
Tài liệu tham khảo . 66
3LỜI NÓI ĐẦU
Toán học tài chính là lý thuyết toán học của thị trường tài chính, nghiên cứu
các thành phần, đặc điểm, cấu trúc của thị trường tài chính, nhằm xây dựng các mô
hình toán học và ứng dụng chúng vào việc tính toán các sản phẩm tài chính trong
thị trường thực tế. Đây là một lĩnh vực mới, được quan tâm nghiên cứu trong những
năm gần đây ở Việt Nam.
Sự phát triển vượt bậc trong lý thuyết phái sinh tài chính được đánh dấu bởi bài
báo của Black và Scholes năm 1973. Hai ông đã tìm ra công thức nổi tiếng để tính
số tiền mà người mua cần phải trả cho người bán để có được quyền mua hoặc bán
một loại cổ phiếu tại một thời điểm ở tương lai với giá trị đã định trước và ngay lập
tức được áp dụng rộng rãi trong thực tế. Ngày nay, trên thế giới, thị trường phái sinh
tài chính phát triển rộng lớn hơn thị trường cổ phiếu chứng khoán. Nói cách khác,
lượng tiền đầu tư vào các Quyền Chọn dựa trên các cổ phiếu nhiều hơn lượng tiền
đầu tư vào chính các cổ phiếu đó.
Nội dung của luận văn này nói về việc định giá các Quyền Chọn và giới hạn
trong phạm vi mô hình tài chính cơ bản với thời gian liên tục. Luận văn được chia
thành 2 chương:
Chương 1: Một số vấn đề về giải tích ngẫu nhiên
Chương 2: Mô hình tài chính cơ bản
Chương 1 là các kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên nhằm chuẩn bị cho
việc thực hiện đề tài. Ở đây, chúng tôi diễn giải cụ thể các khái niệm về quá trình
ngẫu nhiên, đặc biệt là mac-tin-gan và quá trình Wiener. Chúng tôi cũng đưa ra cách
xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô, đây là một trong những khái niệm quan trọng
trong quá trình làm việc với mô hình tài chính thời gian liên tục.
Nội dung chính của luận văn được trình bày chi tiết trong chương 2. Ở đây chúng
tôi chỉ đề cập đến việc định giá các Quyền Chọn với thời gian liên tục trong mô hình
thị trường tài chính cơ bản gồm hai tài sản cơ sở để đầu tư là một trái phiếu không
rủi ro và một chứng khoán có rủi ro. Việc hiểu rõ hoạt động của thị trường trong mô
hình đơn giản này là nền tảng để mở rộng nghiên cứu lên những mô hình thị trường
tổng quát hơn.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn luận văn vẫn không thể tránh khỏi có
những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự góp ý xây dựng của quý thầy cô
và các bạn. Xin chân thành cảm ơn!
4