Thạc Sĩ Điều kiện đủ cấp 2 cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
NĂM 2011
MỤC LỤC Trang
MỞ ĐẦU . 2
Chương 1. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU
KHÔNG TRƠN VỚI RÀNG BUỘC TẬP . 5
1.1. CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ . 5
1.2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU 7
1.3. BÀI TOÁN VỚI HỮU HẠN RÀNG BUỘC . 17

Chương 2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN
TỐI ƯU KHÔNG TRƠN CÓ RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC . 23
2.1. CÁC ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2 23
2.2. SO SÁNH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CỦA A. D. IOFFE 40
2.3. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU DƯỚI NGÔN NGỮ HÀM
LAGRANGE 45
KẾT LUẬN 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

MỞ ĐẦU
Lý thuyết các bài toán tối ưu có nhiều ứng dụng trong kinh tế và
nhiều ngành kỹ thuật. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho phép ta nhận
được các điểm cực tiểu địa phương chặt cấp 2. Các điều kiện tối ưu cấp 2
cổ điển thường được thiết lập dưới ngôn ngữ các gradient và Hessian của
hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc của bài toán. Với bài toán tối ưu mà
dữ liệu là các hàm Lipschitz địa phương, người ta thường dùng gradient
suy rộng và Jacobian suy rộng Clarke thay thế vai trò của gradient và
Hessian.
R.W. Chaney [7] đã thiết lập các điều kiện đủ tối ưu cấp 2
tổng quát dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke cho bài toán với ràng
buộc trong không gian Euclide n-chiều. Ở đây hàm mục tiêu là Lipschitz
địa phương, ràng buộc là một tập đóng trong Rn. Phương pháp chứng
minh phản chứng cùng với các điều kiện cần tối ưu cấp 1 của Clarke [3]
đã được tác giả sử dụng để dẫn đến các điều kiện đủ tối ưu cấp 2. Các
điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán trên với các hàm bán trơn và chính quy
dưới vi phân cùng được thiết lập. Trong [6] R.W. Chaney đã dẫn các
điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán với hữu hạn ràng buộc đẳng thức
và bất đẳng thức Lipschitz địa phương. Ở đây các điều kiện đủ cấp 2
được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của các hàm được
xây dựng kiểu hàm “quy gọn” của Ioffe [9] (“quy gọn” bài toán xuất
phát có ràng buộc hàm thành bài toán không ràng buộc với hàm mục tiêu
“quy gọn”).
Luận văn trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 của Chaney [6,7] cho các bài toán với ràng buộc tập và bài toán với hữu hạn ràng buộc hàm, trong đó dữ liệu của các bài toán là các hàm Lipschitz
địa phương. Các điều kiện đủ cấp 2 được trình bày dưới ngôn ngữ
gradient suy rộng Clarke của hàm bổ trợ cho hàm mục tiêu, và hàm quy
gọn kiểu Ioffe. Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán trên với các hàm bán
trơn và chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong luận văn.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và
danh mục các tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát
cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2 của bài toán tối ưu với ràng buộc tập,
trong đó hàm mục tiêu là Lipschitz địa phương, còn ràng buộc là một tập
đóng trong Rn. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày trong
chương này là của R.W. Chaney [7] dưới ngôn ngữ gradient suy rộng
Clarke. Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán với các hàm bán trơn và
chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong chương này.
Chương 2 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài
toán tối ưu có hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức. Các điều
kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày trong chương này là của R.W.
Chaney [6] được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của
các hàm H và M được xây dựng theo kiểu hàm quy gọn của Ioffe [9].