Đề thi Olympic cụm trường THPT Ba Đình - Tây Hồ năm học 2011 - 2012 môn Toán lớp 11

[DOWNC="http://w7.mien-phi.com/data/file/2013/thang03/14/Dethi-Olympic-TayHo-Toan-L11-2012.doc"]TẢI TÀI LIỆU[/DOWNC]

Đề thi Olympic cụm trường THPT Ba Đình - Tây Hồ năm học 2011 - 2012 môn Toán lớp 11 - Đề thi Olympic

[TABLE]
[TBODY]
[TR]
[TD]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
CỤM TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH – TÂY HỒ
(Đề thi chính thức)
[/TD]
[TD]
ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2011- 2012
Môn: Toán – Lớp 11
(Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề)
[/TD]
[/TR]
[/TBODY]
[/TABLE]
Câu 1 (7 điểm):
a) Giải phương trình lượng giác: 
b) Tính các giới hạn sau:

Câu 2 (4 điểm):
Cho dãy số (u[SUB]n[/SUB]), n thuộc R* xác định bởi: u[SUB]1[/SUB] = 1, u[SUB]2[/SUB] = 2 và u[SUB]n+2[/SUB] - 2[SUB]un+1[/SUB] + u[SUB]n[/SUB] = 2012 + a.n và với tham số a thuộc R.
a) Khi a = 0. Xét dãy số (v[SUB]n[/SUB]) với v[SUB]n[/SUB] = u[SUB]n+1[/SUB] - u[SUB]n[/SUB], n thuộc N*. Chứng minh rằng dãy số (v[SUB]n[/SUB]) là một cấp số cộng. Tính tổng 2012 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
b) Xác định số hạng tổng quát của dãy số (u[SUB]n[/SUB]).
Câu 3 (7 điểm):
Trong không gian, cho 3 tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. A, B, C lần lượt là các điểm di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho: với k là một hằng số dương.
a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác nhọn và trực tâm H của tam giác ABC luôn cách O một khoảng không đổi.
b) Chứng minh rằng: lần lượt là diện tích các tam giác ABC, OAB, OBC, OCA.
c) M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC (M không thuộc các cạnh của tam giác). Gọi α, β, γ lần lượt là các góc hợp bởi đường thẳng OM và các đường thẳng OA, OB, OC. Chứng minh rằng:


Câu 4 (2 điểm):
Cho dãy số (an) với n thuộc N*, gồm các số tự nhiên, được xác định như sau:

Với mỗi n thuộc N*, xét a[SUB]n[/SUB] + 1 điểm khác nhau cùng nằm trên một mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn thẳng nối hai trong a[SUB]n[/SUB] + 1 điểm này được tô bằng một trong n màu khác nhau. Chứng minh rằng, tồn tại tam giác có đỉnh là ba trong a[SUB]n[/SUB] + 1 điểm đã cho và các cạnh đều được tô cùng một màu.