Đề thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh lớp 12 THPT năm 2012 - 2013 môn Toán (vòng 2)

[DOWNC="http://w7.mien-phi.com/data/file/2013/thang03/12/Dethi-HSG-Toan12-HCM-2012-vong2.pdf"]TẢI TÀI LIỆU[/DOWNC]

Đề thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh lớp 12 THPT năm 2012 - 2013 môn Toán (vòng 2) - Đề thi học sinh giỏi

[TABLE]
[TBODY]
[TR]
[TD]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
(Đề thi chính thức)
[/TD]
[TD]
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 19 tháng 10 năm 2012
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
[/TD]
[/TR]
[/TBODY]
[/TABLE]
Bài 1. (4 điểm)
Cho số nguyên dương n. Giải và biện luận theo n hệ phương trình sau:

 
Bài 2. (4 điểm)
Tìm tất cả các hàm số 
Bài 3. (4 điểm)
Giả sử số nguyên dương n có tất cả k ước dương là d[SUB]1[/SUB], d[SUB]2[/SUB], d[SUB]k[/SUB]. Chứng minh rằng nếu d[SUB]1[/SUB] + d[SUB]2[/SUB] + . + d[SUB]k[/SUB] + k = 2n + 1 thì n/2 là số chính phương.
Bài 4. (4 điểm)
Cho ba đường tròn (C), (C[SUB]1[/SUB]), (C[SUB]2[/SUB]) trong đó (C[SUB]1[/SUB]) và (C[SUB]2[/SUB]) tiếp xúc trong với (C) tại B, C và (C[SUB]1[/SUB]), (C[SUB]2[/SUB]) tiếp xúc ngoài với nhau tại D. Tiếp tuyến chung trong của (C[SUB]1[/SUB]) và (C[SUB]2[/SUB]) cắt (C) tại hai điểm A và E. Đường thẳng AB cắt (C[SUB]1[/SUB]) tại điểm thứ hai M đường thẳng AC cắt (C[SUB]2[/SUB]) tại điểm thứ hai N. Chứng minh rằng:

Bài 5. (4 điểm)
Cho một bảng ô vuông có 2012 x 2012 ô, mỗi ô đều điền vào một dấu + . Thực hiện phép biến đổi sau: đổi dấu toàn bộ một hàng hoặc một cột của bảng (+ thành – , – thành +). Hỏi sau một số lần thực hiện phép biến đổi, bảng có thể có đúng 18 dấu – được hay không?